Offres de thèses

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Martin Vohralik

Directeur de thèse : Martin Vohralik

Co-directeur de thèse : Théophile Chaumont-Frelet

Descriptif du projet de thèse :

Les problèmes de propagation d'ondes apparaissent naturellement dans beaucoup d'applications, où ils peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDPs) linéaires hyperboliques. Lorsque la géométrie est complexe, les méthodes d'éléments finis et de Galerkin discontinues sont très populaires pour calculer des approximations numériques de ces problèmes. Néanmoins, même si la convergence de ces méthodes sur des maillages uniformes a été largement étudiée dans la littérature, le développement de bornes d'erreur explicites et de maillages spécifiquement adaptés à la solution fait défaut. En pratique, cela veut dire que (a) il est difficile d'estimer de façon fiable l'erreur de discrétisation associée à un maillage donné et (b) la majorité des ressources calculatoires est gaspillé, puisque beaucoup d'éléments du maillage pourraient être supprimés ou agrandis sans impacter la précision. Le but de ce thèse est alors de développer des majorations d'erreur garanties et des maillages optimalement adaptés. Pour cela, on s'appuiera sur l'estimation d'erreur a posteriori et les raffinements adaptatifs de maillage.

Cette thèse est proposé dans le cadre du projet ANR APOWA ( https://project.inria.fr/apowa ).

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Mladen Dimitrov

Directeur de thèse : Mladen Dimitrov

Descriptif du projet de thèse :

L'arithmétique des formes modulaires classiques a joué un rôle central dans la résolution de grands problèmes en théorie des nombres, tels que le Théorème de Fermat (résolu par Wiles) ou le 12ème problème de Hilbert, sur lequel Dasgupta et Kakde ont récemment obtenu des avancées spectaculaires utilisant les séries de Hilbert-Eisenstein. Le but de ce projet est l'étude de formes automorphes en dimension supérieure, telles que les formes de Bianchi ou de Picard, et la recherche d'applications arithmétiques.

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Dimitri Markouchevitch

Directeur de thèse : Dimitri Markouchevitch

Co-encadrant : Amaël Broustet

Descriptif du projet de thèse :

L’analyse topologique des données est un domaine développé à partir du milieu des années 2000 qui vise à découvrir et comprendre la structure topologique et géométrique de données. La théorie de la persistance, outil principal de l’analyse topologique des données, a été reformulée à partir du milieu des années 2010 en utilisant un point de vue faisceautique par J. Curry puis par M. Kashiwara et P. Schapira. Ces deux points de vue ont été récemment comparés par N. Berkouk. Cette approche a notamment donné un cadre naturel à la notion de multi-persistance, où le module de persistance est filtré par un paramètre appartenant à un espace de dimension plus grande que 1. Ce point de vue faisceautique a également permis de développer une théorie de Hodge discrète adaptée à l’analyse de données hétérogènes (J. Hansen, F. Barbero), utilisée notamment pour donner un nouveau cadre théorique à la dynamique des opinions (J. Hansen, R. Ghrist).

L’objectif de cette thèse est de poursuivre le développement de ce cadre théorique, notamment en l’étendant en dimension supérieure afin de pouvoir analyser l’interaction entre une dynamique et son espace sous-jacent. Ce type de problème trouve une large plage d’applications, que ce soit dans le domaine médical (en imagerie cérébrale par exemple) ou dans le transport. Un deuxième objectif sera d’explorer l’utilisation et l’adaptation de résultats de type Poincaré-Lefschetz sur ces structures pour obtenir une bonne approximation du module de persistence tout en en réduisant la complexité calculatoire.

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Raf Cluckers

Directeur de thèse : Raf Cluckers

Co-directeur de thèse : Arthur Forey

Descriptif du projet de thèse :

Il s’agit d’un sujet de thèse en mathématiques fondamentales, plus précisément en géométrie arithmétique, à l’interaction avec la géométrie non-archimédienne, la théorie des singularités et la théorie des modèles. L’objectif est d’étudier la notion de densité locale motivique, un invariant de singularités défini via la géométrie non-archimédienne. Grâce aux travaux pionniers de Kontsevich puis Denef et Loeser sur l'intégration motivique, la géométrie non-archimédienne fournit un cadre pour définir et comparer des invariants additifs associés à des singularités de variétés algébriques. Kontsevich a notamment montré la bonne définition des nombres de Hodge d'une variété de Calabi-Yau singulière via une résolution crépante, en accord avec les conjectures de symétrie miroir. Denef et Loeser ont construit une fonction zêta motivique, qui interpole les fonctions d'Igusa locales p-adiques, et se spécialise sur les invariants cohomologiques de la fibre de Milnor topologique. Loeser a proposé de développer dans un contexte non-archimédien un analogue de la géométrie micro-locale. Ce programme a été notamment entamé par les travaux de Cluckers-Comte-Loeser sur la densité locale p-adique et Forey sur la densité locale motivique. L’objectif de cette thèse est de poursuivre ce programme en étudiant plus en détail la notion de densité locale motivique. Les buts seront de la calculer pour différents types de singularités algébriques et de le relier à d’autres invariants de singularités.

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Olivier Goubet

Directeur de thèse : Olivier Goubet

Co-directeur de thèse : Vivien Desveaux

Descriptif du projet de thèse :

Ce projet de thèse est un sujet de mathématiques appliquées (équations aux dérivées partielles, simulation numériques). Les systèmes d’équations considérés sont des modèles asymptotiques pour la propagation d’ondes hydrodynamiques à la surface de l’eau, ondes longues en écoulement peu profond. Des exemples de système sont les systèmes de Saint-Venant ou les systèmes de Boussinesq (et leur généralisation comme les systèmes abcd). Les questions qui se posent sont l’existence et la stabilité d’ondes progressives dans le cas où la bathymétrie du fond est variable (fond non plat). La stabilité sera étudiée théoriquement (ce qui nécessite une bonne appréhension du problème de Cauchy sous-jacent) et numériquement.

Ce projet de thèse s’inscrit dans la dynamique du projet SWORD (Shallow Water flOws in nonstandaRd Domains), projet porté par des chercheurs en mathématiques appliquées des unités de recherche en Hauts-de-France (Lille, Amiens, Calais, Compiègne). Ce projet a été déposé pour la campagne ANR 2024.

La personne (doctorant ou doctorante) recherchée pour accomplir ce projet de thèse aura une formation en analyse appliquée (équations aux dérivées partielles, simulation numérique).

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David Dereudre

Directeur de thèse : David Dereudre

Descriptif du projet de thèse :

Ce projet s'inscrit dans la continuité de travaux récents autour de la rigidité des gaz de Riesz en dimension d et pour le paramètre de portée s lié au potentiel d’interaction 1/|x|^s. L'étude de la Number-Rigidité et de l'hyperuniformité de tels processus ponctuels est actuellement une question majeure du domaine. Rappelons-en les définitions:

Hyperuniformité: On dit qu'un processus ponctuel est hyperuniforme si la variance du nombre de points dans un domaine borné est négligeable devant le volume de ce domaine lorsque le volume tend vers l’infini. Cette définition provient originellement de la physique statistique car elle indique la non-compressibilité d'un fluide et joue également un rôle essentiel de neutralité des charges dans les gaz de particules chargées. Pour les gaz de Riesz, l'hyperuniformité est démontrée dans le cas de la dimension d=1 et dans le cas Coulombien en dimension d=2. Dans les autres cas, la question est ouverte et il est conjecturé que l'hyperuniformité apparaît dès que le paramètre d’interaction s<d.

Number-Rigidité: On dit que le processus ponctuel est Number-Rigide si le nombre de points dans tout domaine borné est presque sûrement déterminé par la configuration de points en dehors de ce domaine. Cette propriété est considérée comme un indicateur de cristallisation en physique statistique. Pour les gaz de Riesz, la Number-Rigidité est démontrée dans le cas d=1, s=0,-1. Il est également démontré qu'il n'y a pas Number-Rigidité dans le cas s>d-1 et d>2, s=d-2. Dans les autres cas, la question est ouverte et il est conjecturé que la Number-Rigidité apparaît uniquement pour s inférieur ou égal à 0.

Dans cette thèse, nous allons nous attaquer à ces conjectures de rigidité à l'aide d'une nouvelle approche basée sur les réseaux perturbés dépendants. Il s'agit de représenter un gaz de Riesz via une perturbation du réseau carré à l’aide d’une suite de vecteurs aléatoires identiquement distribuées. Bien sûr, l'indépendance entre les variables sera perdue dans cette représentation. Ce sera la première étape de la thèse et elle devrait essentiellement s'appuyer sur des méthodes entropiques. Nous pourrons alors exploiter cette structure pour montrer l'hyperuniformité en dimension d=2 en montrant que les variables ont des moments d'ordre 2. Ce sera la deuxième étape de la thèse qui s'appuiera sur des études récentes sur l'hyperuniformité des réseaux perturbés dépendants. Dans un troisième temps, la Number-rigidité devrait pouvoir s'attaquer à l'aide des méthodes développées par Peres et Sly dans le cas indépendant.

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Stephan De Bievre

Directeur de thèse : Stephan De Bievre

Descriptif du projet de thèse :

The idea that it should be possible to exploit the particular features of quantum systems in order to obtain a ''quantum advantage'' has gained considerable ground in recent years and much effort has gone into all aspects of this basic tenet, theoretically, experimentally and, more recently, technologically. The goal is to exploit those properties that most markedly distinguish quantum systems from classical ones to vastly improve various procedures and protocols in computing, cryptography, communication, metrology and simulation.

A central question in this context is the identification of the classical-quantum boundary in a system's state space. Which are the states that can or cannot be hoped to provide such a quantum advantage?

One of the tools that have proven instrumental in this questioning are quasi-probability distributions.  For the continuous variable theories, the Wigner function is central, as well as the Glauber-Sudarshan P-function. Their negativity is a hallmark of non-classicality and a necessary condition to obtain a possible quantum advantage.  In finite dimension, Kirkwood-Dirac KD) distributions have very recently come to the forefront in a variety of contexts. In fact, given any pair of non-commuting observables, one can associate a KD-distribution to any quantum state. Again non-positivity is a prerequisite here to obtain a quantum advantage.

In both cases, a number of witnesses, measures and monotones have been designed to determine if the quasi-probability of given state does or does not manifest non-positivity and to assess the degree to which such non-positivity is present. It is the goal of this thesis project to compare the existing such measures through upper/lower bounds and to thus better understand their meaning and role.  

No prior knowledge of quantum mechanics is required, but an interest in the application of mathematics to physics is expected. The mathematics involved in this project is mostly functional analysis, Hilbert space theory (operators, spectral theory) and probability theory. The capability of testing conjectures with numerical simulations is a plus.

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Catelin Badea

Directeur de thèse : Catelin Badea

Descriptif du projet de thèse :

Il s'agit d'un sujet de thèse en analyse fonctionnelle, plus spécifiquement dans le domaine de la théorie spectrale des opérateurs.

Il est largement reconnu en théorie des opérateurs que les opérateurs de translation sur un espace de Hilbert jouent un rôle crucial en tant qu'opérateurs modèles (théorie de Nagy et Foias) et opérateurs universels (dans le sens de Rota et Caradus). Cette thèse propose une exploration approfondie de plusieurs problèmes liés aux opérateurs modèles et universels, ainsi que de divers théorèmes de décomposition associés.

Une maîtrise solide de l'analyse fonctionnelle et de la théorie spectrale des opérateurs est souhaitable.

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Guillaume Dujardin

Directeur de thèse : Guillaume Dujardin

Co directeur de thèse : Benjamin Braconnier

Descriptif du projet de thèse :

En géothermie, dépollution de l'eau et stockage souterrain d'hydrogène, les processus biochimiques dus aux bactéries et microbes ont un fort impact sur la production d'agents pathogènes et doivent être pris en compte dans l'évaluation des risques de contamination. Cette prise en compte se fait par l'intégration de modules dédiés dans les simulateurs d'écoulement en milieu poreux. Cependant, le développement de ces modules s'appuie sur des modèles de réaction empiriques qui sont assez éloignés de la cinétique chimique habituelle. En l'état actuel, les propriétés mathématiques sous-jacentes à ces nombreux modèles ad hoc, constitués d'équations différentielles ou algébro-différentielles, ne sont malheureusement pas bien comprises. Non seulement leur stabilité en temps long n'est pas toujours assurée, mais ils peuvent aussi être particulièrement raides dans certaines plages de fonctionnement. Par conséquent, leur intégration numérique s'avère délicate : un schéma même implicite nécessite souvent de très petits pas de temps et ne préserve pas toujours la positivité des concentrations.

Dans ces conditions, le premier objectif de cette thèse est d'étudier ces modèles de biogéochimie sous un angle plus mathématique afin de faire ressortir les différentes structures de trajectoire en fonction des paramètres. Pour cela, nous utiliserons les outils de la théorie des systèmes dynamiques en rapport avec l'analyse de stabilité non linéaire et les bifurcations. Le but de cette étape est non seulement de valider la forme des solutions calculées, mais aussi d'anticiper les difficultés à traiter ultérieurement. Dans un deuxième temps, l'objectif suivant est d'améliorer les méthodes numériques du point de vue de la précision et de la robustesse vis-à-vis des difficultés mises en évidence. À cette fin, on cherchera à adapter plusieurs techniques récentes conçues pour garantir d'une part une meilleure convergence de la résolution par Newton du système algébrique après discrétisation, et d'autre part une gestion mieux adaptée de l'apparition ou la disparition de certaines espèces. On comparera les différentes méthodes d'abord en 0-D, sur des systèmes différentiels purs, puis en 2-D/3-D via un couplage avec les EDP du transport en milieu poreux.

Pour postuler, merci d’envoyer votre lettre de motivation et votre CV à l’encadrant IFPEN indiqué ci-dessus.

IFP Energies nouvelles est un organisme public de recherche, d’innovation et de formation dont la mission est de développer des technologies performantes, économiques, propres et durables dans les domaines de l’énergie, du transport et de l’environnement. Pour plus d’information, voir notre site web.

IFPEN met à disposition de ses doctorants un environnement de recherche stimulant, avec des équipements de laboratoire et des moyens de calcul très performants. Outre une politique salariale et de couverture sociale compétitive, IFPEN propose à tous les doctorants de participer à des séminaires et des formations qui leur sont dédiés.

Contact :

Guillaume Dujardin

Directeur de thèse : Guillaume Dujardin

Co directeur de thèse : André De Laire

Descriptif du projet de thèse :

L’équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) apparaît à de multiples endroits en physique, par exemple dans la modélisation des atomes froids (à l’état de condensats de Bose–Einstein), et en optique non linéaire. Il est bien connu que cette équation admet des solutions particulières appelées solitons, qui ont la particularité de se déplacer à vitesse finie sans se déformer. Ces solitons jouent par ailleurs un rôle essentiel dans la dynamique globale de cette équation.

Dans cette thèse, on se propose de s’intéresser à des versions plus complexes de l’équation de NLS, motivées par des applications physiques plus réalistes. Concrètement, on souhaite considérer cette équation avec des conditions non-nulles à l’infini d’une part, et d’autre part avec des non-linéarités plus générales, par exemple non locales, ou quasi-linéaires. Dans ce contexte, par opposition aux solitons classiques dits “clairs” (bright), les solitons observés sont dits “sombres” (dark). Les principaux objectifs de la thèse comprennent :

* le calcul numérique de solitons sombres, où les conditions aux limites sont périodiques dans une direction et de module tendant vers une constante non nulle dans l’autre. Dans le contexte de [5]. On souhaite en particulier utiliser une version discrétisée de la formulation variationnelle introduite dans ce papier. L’enjeu est d’être capable de quantifier numériquement la transition observée entre les solitons sombres “issus de la dimension 1” (lorsque la taille du tore est « petite ») et les solitons sombres “vraiment” de dimension 2 (lorsque la taille du tore est « grande » ).

* la simulation numérique de la dynamique d’équations de NLS avec conditions non nulles aux limites, et la description numérique de l’interaction entre solitons sombres, et entre solitons sombres et clairs, en dimension 2. Quelques travaux numériques existent dans la littérature [2, 3] en dimensions 1 et 2, qui donnent des pistes sur les méthodes utilisables afin de tenir compte numériquement des conditions aux limites non nulles. Nous souhaitons dans un premier temps étendre ces méthodes au contexte théorique introduit dans [5], afin de produire des méthodes numériques simulant la dynamique de cette équation. Par la suite, nous pourrons aborder la question de la description numérique de l’interaction entre solitons sombres, et entre solitons sombres et clairs, en dimension 2 (dans l’esprit de [3] en dimension 1), de manière à ouvrir la voix pour une étude théorique future.

l’introduction de termes non-linéaires plus généraux dans l’équation de NLS, par exemple des termes non-locaux ou des termes quasi-linéaires, dans le contexte bi-dimensionnel. Par exemple des termes non-locaux (voir [4] pour des exemples en dimension 1), ou des termes quasi-linéaires (voir [6] pour des exemples et une étude théorique en dimension 1). Avec ces termes supplémentaires, nous souhaitons poser, dans le contexte bi-dimensionnel et avec des conditions aux limites non-nulles, à nouveau la question du calcul numérique des solitons (voir le premier objectif) ainsi que celle de l’intégration numérique de la dynamique (voir le deuxième objectif).

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Mihai Tibar

Directeur de thèse : Mihai Tibar

Co-directeur de thèse : Cezar Joiţa

Descriptif du projet de thèse :

Let $F:(X,x)\to (Y,y)$ be an analytic map germ, where  $(X,x)$ and $(Y,y)$ are  germs of real or complex analytic

 varieties.   The need of assuming that the image of an analytic map germ is well-defined  \emph{as a set germ} has been pointed out by John Mather in his fundamental study on the stratified structure of maps \cite{Ma}. This condition was recently studied in \cite{JT} and \cite{JT-arkiv}.

One of the motivations for its study was the characterisation of the situation when the image is locally open. In case of  holomorphic maps, such a characterisation was conjectured by Huckleberry \cite{Hu},  and was proved in \cite{JT-arkiv}. This problem is totally different from the classical Open Mapping Theorem in complex analysis.

In very simple examples the image of $F$  is however not well-defined as a set germ, as pointed out in \cite{Hu} and \cite{JT-arkiv}.  One may then ask if there is a good replacement for the image in such cases. This question is studied in \cite{JT-new} in the case of holomorphic map germs with 2-dimensional target.

\bigskip

Here are a few directions of study that might be addressed in the thesis:

\medskip

$\bullet$   Find the structure of the local image of a holomorphic map germ with higher dimensional target, for instance $F:(X,x)\to (\bC^3,0)$.

\medskip

$\bullet$  Study the similar image problem in the case of real analytic map germs.

\medskip

$\bullet$   Define a notion of fibration for map germs which do not have a well-defined image as a set germ, and find sufficient conditions for the existence of such a fibration, with applications.

These features would lead to non-trivial extensions of the well-known results, the classical ones by Milnor \cite{Mi}, L\^e \cite{Le}, and the recent ones \cite{ART}, to the case of map germs with non well-defined images as set germs.

\begin{thebibliography}{MMM}

\bibitem[ART]{ART} R.N. Ara\' ujo dos Santos, M. Ribeiro, M. Tib\u ar, \emph{Fibrations of highly singular map germs},

Bull. Sci. Math. 155 (2019), 92-111.

\bibitem[Hu]{Hu} A.T. Huckleberry,

\emph{On local images of holomorphic mappings.} Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa (3) 25 (1971), 447-467.

\bibitem[JT1]{JT}

C. Joi\c ta, M. Tib\u ar, \emph{Images of analytic map germs and singular fibrations}.

Eur. J. Math.  6 (2020), no 3, 888-904.

\bibitem[JT2]{JT-arkiv}

C. Joi\c ta, M. Tib\u ar, \emph{Images of analytic map germs}.  Arkiv f\"or Matematik  59 (2021), 345-358.

\bibitem[JT3]{JT-new} C. Joi\c ta, M. Tib\u ar,  \emph{What is the local image of an analytic map?}, manuscript.

\bibitem[Le]{Le}

L\^{e} D.T., \emph{Complex analytic functions with isolated singularities}.  J. Algebraic Geom. 1 (1992), 83-100.

\bibitem[Ma]{Ma}

J.N. Mather, \emph{ Stratifications and mappings.}

Dynamical systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971), pp. 195-232. Academic Press, New York, 1973.

\bibitem[Mi]{Mi} J.W. Milnor, \emph{Singular points of complex hypersurfaces}. Annals of Mathematics Studies, No. 61 Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo 1968.

\end{thebibliography}

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Mihai Tibar

Directeur de thèse : Mihai Tibar

Co-directeur de thèse : Cezar Joiţa

Descriptif du projet de thèse :

The index of a vector field with isolated zeroes enters in the celebrated Poincar\'e-Hopf theorem which expresses the Euler characteristic of a compact manifold.  It has been extended in various directions,  in the real and  in  the complex geometry, by several authors such as Eisenbud-Levine, Khimshiashvili, etc. 

In the complex setting, the index becomes a \emph{degree}. For a holomorphic function germ $h$ of $n\ge 2$ variables and with isolated singularity,  the local index $\ind_{p} (\grad \ h )$ equals the  \emph{Milnor number} $\mu_{h}$,  which has several other topological and algebraic interpretations. In particular, $\mu_{h}$ is equal, modulo a sign,  to the Euler characteristic of the Milnor fibre minus 1.

For any complex projective hypersurface $V \subset \bP_{\bC}^{n}$, defined by a homogeneous polynomial $f : \bC^{n+1} \to \bC$ of degree $d$,  the \emph{polar degree} $\pol(V)$  is defined as the topological degree of the gradient map, also known as the \emph{Gauss map}:

\begin{equation}\label{eq:grad}

\grad f : \bP_{\bC}^{n}\m \Sing V \to  \bP_{\bC}^{n}.

\end{equation}

 The gradient mapping \eqref{eq:grad} with $\pol(V) =1$ is a \emph{Cremona transformation}.  The corresponding hypersurfaces $V$ were called \emph{homaloidal}, and Dolgachev classified the projective  plane curves with this property. 

 The concept of polar degree goes back to 1851 when Hesse  studied hypersurfaces with vanishing Hessian  \cite{Hes51, Hes59},  which is equivalent to $\pol(V) =0$,  and to Gordan and Noether \cite{GN76}.

The classification of all homaloidal hypersurfaces with \emph{isolated singularities} was carried out by Huh\footnote{June Huh is a Fields medalist 2022.} \cite{Huh}. He confirmed a conjecture stated by Dimca and Papadima \cite{DP} that there are no  homaloidal hypersurfaces with isolated singularities  besides the smooth quadric and the plane curves found by Dolgachev. June Huh proved in \cite{Huh} the sum decomposition of the polar degree in the setting of $V$ with isolated singularities:

\[

 \pol(V) = \mu^{\left< n-2\right> }_p(V) +\rk H_{n}(\bP^{n}\m V, (\bP^{n}\m V) \cap H_{p}),

\]

where $p\in \Sing V$ be one of the singular points of $V$,

and $\mu_{p}^{\left< n-2\right>}$ is the Milnor number  of a hyperplane section

 $H_p \cap V$ through $p$.

 More recently,  Siersma-Steenbrink-Tib\u ar  classified in \cite{SST} the hypersurfaces with isolated singularities and polar degree 2, confirming Huh's conjectural list \cite{Huh}.  The finiteness of the range of $(n,d)$ in which there may exist hypersurfaces with isolated singularities and polar degree $k>2$ has been also proved in \cite{SST}.

This PhD project will address several open questions around the enumerative geometry of the degree (or the index) of the gradient, such as:

   $\bullet$ The ``admissible hyperplanes'' defined in \cite{ST-polar2} set the bases for an extended theory of geometric vanishing cycles. More other classical or recent problems may be approached with this new viewpoint.

$\bullet$ Study of the conjecture in the case $\dim \Sing V =1$ that there are no other hypersurfaces with $\pol V =0$ besides cones. (Conversely, all projective cones have $\pol V =0$ by definition.)

\begin{thebibliography}{aaaa}

\bibitem[DP]{DP}

A. Dimca, S. Papadima,  \emph{Hypersurface complements, Milnor fibers and higher homotopy groups of arrangments.} Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 2, 473-507.

\bibitem[Do]{Do}

I. Dolgachev,  \emph{Polar Cremona transformations}.  Michigan Math. J. 48 (2000), 191-202.

\bibitem[GN]{GN76} P. Gordan,  M. Noether, \emph{\" Uber die algebraischen Formen, deren Hesse'sche Determinante

identisch verschwindet}. Math. Annalen 10 (1876), 547-568.

\bibitem[Hes1]{Hes51} O. Hesse, \emph{\" Uber die Bedingung, unter welcher eine homogene ganze Function von $n$ unabh\" angigen Variabeln durch line\" are Substitutionen von n andern unabh\" angigen Variabeln auf

eine homogene Function sich zur\" uck-f\" uhren l\" a\ss t, die eine Variable weniger enth\" alt.} Journal

f\" ur die reine und angewandte Mathematik 42 (1851), 117-124.

\bibitem[Hes2]{Hes59} O. Hesse, \emph{Zur Theorie der ganzen homogenen Functionen}. Journal f\" ur die reine und angewandte Mathematik 56 (1859), 263-269.

\bibitem[Huh]{Huh}

J. Huh,  \emph{Milnor numbers of projective hypersurfaces with isolated singularities.} Duke Math. J. 163 (2014), no. 8, 1525-1548.

\bibitem[SST]{SST}

D. Siersma, J.H.M. Steenbrink, M. Tib\u ar,  \emph{On Huh's conjectures for the polar degree}, J. Algebraic Geometry 30  (2021),  189-203.

\bibitem[ST]{ST-polar2}

D. Siersma, M. Tib\u ar, \emph{Polar degree and vanishing cycles}, J. Topology 15 (2022), no. 4, 1807-1832.  % doi.org/10.1112/topo.12260

\bibitem[Ti3]{Ti-book}

M.~Tib\u{a}r,  Polynomials and vanishing cycles. Cambridge Tracts in Mathematics, 170. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

\end{thebibliography}

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Thomas Simon

Directeur de thèse : Thomas Simon

Descriptif du projet de thèse :

Les processus de Lévy a-stables ont été très étudiés dans les années 1950-1960, et ont connu un regain d’activité depuis une dizaine d’années, dont un premier bilan a été donné dans une monographie récente de A. E. Kyprianou et J.-C. Pardo (Cambridge University Press, 2022). Parmi les quantités étudiées pour ces processus figurent les temps d’arrivée dans des sous-ensembles de l’espace d’état, qui dans le cas réel sont classiquement les points (temps d’atteinte) et les intervalles semi-finis (temps de sortie). Dans le cas limite du mouvement brownien réel, ces deux quantités classiques coïncident et ont une loi explicite, la loi de Lévy qui possède plusieurs propriétés fines : infinie divisibilité, unimodalité, propriété «bell-shape», entre autres.

Le cas non brownien n’est pas encore bien compris et la présente thèse propose d’étudier les propriétés fines des densités des temps d’atteinte ou de sortie. En particulier, il est connu que les temps d’atteinte sont unimodaux et on cherchera à montrer cette propriété dans le cas, plus difficile, des temps de sortie. Il est conjecturé que les temps de sortie sont infiniment divisibles si et seulement si a > 1 et que les temps d’atteinte le sont toujours et on abordera ces deux problèmes ouverts. On étudiera aussi les changements de signe des dérivées successives de telles densités, par analogie avec la propriété « bell-shape » récemment établie pour les lois stables réelles (Kwasnicki, 2020). Les temps d’arrivée dans les intervalles finis et le cas multidimensionnel isotrope, dans l’esprit des travaux récents de l’école polonaise, pourront enfin également être abordés.

Les outils pour étudier ce type de problème mélangent l’analyse classique (positivité complète, convexité, fonctions spéciales) et les probabilités (processus de Lévy et leurs fonctionnelles exponentielles, martingales). Ils demandent une certaine période d’assimilation, dont la durée reste raisonnable et le vif du sujet pourra être abordé rapidement.

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Nicolas Wicker

Directeur de thèse : Nicolas Wicker

Co-directeur de thèse : Yann Guermeur

Descriptif du projet de thèse :

Le concept d’epsilon-réseau est central en géométrie computationnelle. Son introduction remonte au moins à l’article fondateur de Kolmogorov et Tihomirov (1961). Dans un espace métrique, un epsilon-réseau d’un domaine est un ensemble de points tel que tout point du domaine est situé à une distance strictement inférieure à epsilon d’un point de cet ensemble. Lorsqu’un domaine possède un epsilon-réseau de cardinal fini, alors son nombre de couverture est le plus petit cardinal de ses epsilon-réseaux.

Au-delà de la géométrie, les nombres de couverture jouent également un rôle central en théorie statistique de l’apprentissage (Vapnik, 1998). Lorsqu’ils sont calculés pour la famille de fonctions associée à un modèle de l’inférence empirique, que ce soit en discrimination ou en régression, leur comportement caractérise non seulement la consistance du principe inférentiel, mais encore la vitesse de convergence de l’erreur en apprentissage vers l’erreur en généralisation. Ils sont majorés en fonction de dimensions combinatoires à facteur d’échelle (Kearns et R.E. Schapire, 1994 ; Guermeur, 2007) au moyen de résultats combinatoires connus sous le nom de lemmes de Sauer généralisés. La majoration de ces dimensions fournit ensuite l’intervalle de confiance du risque garanti (majorant de l’erreur en généralisation).

Ce travail de thèse se compose de deux parties complémentaires. La première porte sur le calcul d’epsilon-réseaux de cardinalité minimale pour des ensembles finis de points. Ce problème est NP-difficile. Deux communautés ont développé des algorithmes fournissant des solutions approchées : celle de la classification (non supervisée) (Bien et Tibshirani, 2012 ; Moniot et al., 2022) et celle de la théorie des graphes (Li et al., 2020). Un premier objectif est d’effectuer une analyse synthétique de l’état de l’art, établissant le lien entre performance et complexité. Cette contribution initiale devrait donner naissance à de nouveaux algorithmes capables en particulier d’opérer dans des espaces non hilbertiens.

La seconde partie du travail de thèse relève de la discrimination à catégories multiples. Elle porte sur la majoration des nombres de couverture des familles de fonctions associées aux systèmes discriminants à marge (réseaux de neurones, machines à noyau, forêts aléatoires...). Elle se décomposera suivant deux axes. Le premier consiste à améliorer les lemmes de Sauer généralisés disponibles pour la dimension combinatoire dédiée à ces classifieurs : la dimension de Natarajan à marge (Guermeur, 2023). Le second est la majoration de cette dimension pour les principaux systèmes discriminants de la littérature. Un intérêt tout particulier sera porté à la machine à noyau isotrope (Guermeur et Wicker, 2023) développée dans l’équipe. Pour cette machine, on peut espérer contrôler la capacité en fonction de l’isotropie des données (Ghorbani et al., 2020).

Contact :

Nicolas Wicker

Directeur de thèse : Nicolas Wicker

Co-directrice de thèse : Mélanie Traversier

Descriptif du projet de thèse :

Dans le contexte de la création d’un jeu vidéo situé dans le contexte historique de la ville de Lille au XVIII^e siècle, il est nécessaire de créer des séries d’évènements aléatoires avec suffisamment de diversité pour que le joueur ait une bonne expérience de jeu. Ce travail se fera en collaboration avec Mélanie Traversier, professeure d’histoire moderne, spécialiste d’histoire urbaine, au laboratoire IHRiS. Il s’inscrit dans le contexte des collaborations ayant lieu dans la Fédération SCV (Sciences et Cultures du Visuel).

Il y aura deux axes de recherche  :

- pour prendre en compte l’aspect temporel, on pourra mettre de la répulsion dans la séquence d’évènements, un peu à la manière des hypercubes latins en ce sens qu’une série d’événements doit être générée de telle sorte que l’ordre dans laquelle elle est générée maximise les distances entre éléments proches. Il faudra ici définir l’outil mathématique approprié, définir une chaîne de Markov et en donner la vitesse de convergence.

- Un second axe, plus difficile, portera sur la génération d’éléments aléatoires de groupes d’automorphismes de graphes qui seraient extraits de la carte du jeu vidéo. L’intérêt serait de placer des personnages ou objets de manière aléatoire tout en respectant une certaine structure (par isomorphisme). C’est un sujet encore actif avec un article récent de Peres, Tanaka et Zhai (2020) qui donne une nouvelle borne sur la vitesse de convergence de l’algorithme de remplacement de produits (« product replacement »). Leur borne est la meilleure connue mais est obtenue dans des conditions très générales qui la rende inexploitable en pratique. La vitesse est au moins de l’ordre de la taille du groupe donc pour le groupe de permutation Sn on arrive déjà à (n!). Notre projet est plutôt de cibler des sous-groupes plus accessibles du groupe de permutation afin d’obtenir des bornes similaires à celles de Diaconis et Shahshahani (1981).

Contact :

Serge Ivashkovych

Directeur de thèse : Serge Ivashkovych

Descriptif du projet de thèse :

1°. Résumé du sujet de thèse.  On va  viser de prouver un théorème de prolongement de type Thullen pour des fibres holomorphes ayant une métrique hermitienne de coubure positive.

2°. L’état du sujet dans le laboratoire d’accueil. La recherche scientifique en question sera portée dans le domaine d’analyse et géométrie complexe qui est l’une de direction de recherche de notre laboratoire. En plus le sujet de la thèse est lié à physique mathématique notamment aux champs de Yang-Mills et théorie de jauge.

     Le directeur de thèse et son ancien doctorant Shevchishin ont obtenu des résultats d’extension de fibrés holomorphes avec une condition d’intégrabilité de leur courbure. Cette condition se  traduit comme la finitude de l’énergie d’un champ de Yang-Mills auprès d’une singularité éventuelle. A mon avis les méthodes développées dans ces travaux peuvent être améliorées pour obtenir des résultats semblables pour le cas d’énergie positive.

3°. Les objectifs visés, les résultats escomptés. Nous comptons de démontrer qu’un fibre holomorphe muni d’une métriqe de courbure positive possède la “holonomie au bord” (ou la holonomie limite) sur se lieu singulière. En utilisant se objet (holonomie limite) nous comptons d’étudier le comportement d’un tel fibré, ou en thermes physiques le comportement du champ de Yang-Mills associé. En particulier nous comptons de démontrer un Théorème de prolongement de type Thullen

pour tells fibrés.

4°. Le programme de travail avec les livrables et l’échéancier prévisionnel.

- La première année sera consacrée à l'étude de la littérature:

M2 et Septembre-Decembre de la première année

a) Chabat B.: «Introduction à l’analyse complexe», tome 2., Mir Moscou.

b) Hörmander L.: «An introduction to complex analysis in several variables. North Holland, New York.

Janvier – Juin de la première année

c) Griffiths P., Harris J.: «Principles of Algebrais Geometry. Wiley  New, York

d) Demailly J.-P.: «Complex analytic and differential geometry».

e) Siu Y.-T.: «Techniques of extension of analytic objects», Marcel Dekker, New York.

- La deuxième année sera consacré à la recherche cible sur notre problème et sera effectue en collaboration avec V. Shevchishin de l’Université de Torun, Pologne. Les articles concernées sont:

1) Ivashkovich S.: “An extension theorem of Thullen type for line bundles with L²-bounded curvature” Soviet Math. Dokl. v. 38, 516-518 (1989).

2) Shevchishin V.: “The Thullen type extension theorem for holomorphic vector bundles with L²-bounded curvature” Math. Ann., v.305, 461-491 (1996).

Contact :

Serge Ivashkovych

Directeur de thèse : Serge Ivashkovych

Descriptif du projet de thèse :

1°. Résumé du sujet de thèse. On va viser d’écrire les domaines locallement pseudoconvexes au-dessus des surfaces complexes compactes, c.à d. variérés complexes compactes de dimension complexe deux. En particulier on va étudier le case des domaines au-dessus des surfaces de Hirzebruch.

2°. L’état du sujet dans le laboratoire d’accueil. La rechereche sera portée dans le domaine d’analyse et géométrie complexe qui est l’une de direction de recherche de notre laboratoire. Le directeur de thèse courant ces études des hypersurfaces Levi plats dans les surfaces complexes avait trouvé certaines idées et liens entre ces objets et le problème de Levi. On compte de développer ce sujet dans la thèse en question.

3°. Les objectifs visés, les résultats escomptés. Une des méthodes pour étudier la convexité holomorphe d’un domaine d’une variété complexe consiste à étudier la pseudo-convexité de ce domaine au voisignge de sa frontière. Le problème de Levi illustre cette démarche. On sait que si notre domaine est locallement pseudo-convexe dans une variété de Stein alorst il est un domaine de Stein lui même (théorème de Docquier-Grauert). De même si un domain d’espace projectif est locallemet pseudo-convexe et differente d’espace totale il est de Stein. Notre but êtaint d’étudier les domaines locallement pseudo-convexes dans surfaces compact complexes, notamment dans surfaces de Hirzebruch. Nous comptons aussi passer au dimensions supérieures. En plus nous comptons d’étudier le pseudo-convexite locale des domaines de Poincaré des feuilletages holomorphes.

4°. Le programme de travail avec les livrables et l’échéancier prévisionnel.

Contacts :

Directeur de thèse : Dimitri Markouchevitch

Contacts :

Dimitri Markouchevitch

Descriptif du projet de thèse :

Un groupe cristallographique complexe (CC) Γ est un groupe discret de transformations affines de l'espace complexe Cⁿ ayant un domaine fondamental borné. Tout groupe CC est une extension d'un réseau Λ de  Cⁿ par un groupe fini linéaire G :

0 ⟶ Λ ⟶ Γ ⟶ G ⟶ 1.

Le réseau Λ opère sur Cⁿ par translations, et G=dΓ est le groupe des parties linéaires des transformations de Γ. Le cas où Γ est engendré par des réflexions complexes est particulièrement intéressant ; on appellera de tels Γ groupes CCR. Précisons qu'on définit une réflexion complexe comme toute transformation affine de Cⁿ d'ordre fini dont le lieu fixe est un hyperplan affine (donc contrairement au cas des réflexions réelles, qui sont toutes d'ordre 2, les réflexions complexes peuvent avoir pour ordre n'importe quel entier ≥2). Le sujet de thèse proposé concerne l'étude des quotients Cⁿ/Γ sous les actions de groupes CCR.

Ce sujet se trouve à l'intersection de la géométrie algébrique et de la théorie des représentations. Le quotient  Cⁿ/Γ peut être vu comme le quotient A/G par l'action d'un groupe fini, où A=Cⁿ/Λ est un tore complexe muni d'une structure d'une variété projective algébrique, c'est à dire, une variété abélienne ; le quotient  Cⁿ/Γ≅ A/G devient, de cette façon, une variété projective algébrique, qui est un objet de la géométrie algébrique.

Lorsqu'il s'agit d'une action linéaire d'un groupe fini G engendré par des réflexions sur Cⁿ, le théorème de Shephard–Todd et de Chevalley dit que l'algèbre C[T₁,...,T_n]^G des polynômes invariants est aussi polynomiale, c'est à dire, librement engendrée par n polynômes G-invariants basiques. Le quotient Cⁿ/G, en tant qu'une variété affine algébrique, s'identifie avec le spectre de l'algèbre des invariants :  Cⁿ/G = Spec C[T₁,...,T_n]^G. Le fait que l'algèbre des invariants est polynomiale signifie que le quotient est encore un espace affine complexe : Cⁿ/G ≅ Cⁿ.

De façon similaire, la variété abélienne A introduite dans le cadre des groupes CCR se représente comme le spectre projectif de l'algèbre R de ses fonctions thêta, A = Proj R, et alors le quotient n'est autre que le spectre projectif de l'algèbre des invariants : A/G = Proj R^G. Une conjecture naturelle inspirée par le théorème de  Shephard–Todd–Chevalley suggère que R^G est une algèbre des polynômes, et alors, dans le cas où Γ est un groupe CCR irréductible, le quotient Proj R^G est un espace projectif à poids, pondéré par les degrés des fonctions thêta invariantes basiques. Cette conjecture a été démontrée par Looijenga, Bernstein–Schwarzman, Kac–Peterson, Friedman–Morgan–Witten, Wirthmüller pour les groupes CCR du type de Coxeter (CCCR), c'est à dire, pour les groupes CCR Γ dont la partie linéaire G=dΓ est un sous-groupe du groupe orthogonal réel O(n).

La conjecture est aussi quasiment connue en dimension 2 depuis les année 80, quand Schwarzman, Kaneko, Tokunaga et Yoshida ont donné une liste de plans projectifs à poids qui s'obtiennent comme quotients CCR de C². Cependant, leurs travaux se basaient sur une classification incomplète des groupes CCR de rang 2. Dans un article récent, Koziarz–Rito–Roulleau ont identifié encore un plan projectif à poids qui est un quotient CCR mais n'est pas présent dans les travaux précédents.

En dimension 3, le problème reste ouvert pour les groupes CCR proprement complexes, c'est à dire, qui ne sont pas du type de Coxeter. Ces groupes ont été classifiés par V. Popov. Il y a le seul cas connu, celui de l'unique groupe CCR dont la partie linéaire contient le groupe simple de Klein d'ordre 168, de symbole [K₂₄] dans le tableau de Popov. Notamment, dans [2], il est démontré que le quotient C³/Γ dans ce cas est isomorphe à l'espace projectif à poids P(1,2,4,7). La démonstration s'appuie sur le travail [1], qui donne la description des singularités du quotient, et sur la détermination de l'algèbre des fonctions thêta invariantes. A la différence du cas CCCR, celle-ci n'est pas polynomiale, mais est une seconde algèbre de Veronese de l'algèbre polynomiale définissant l'espace projectif à poids P(1,2,4,7). Il reste une énigme quel sens ont les poids 1, 2, 4, 7; dans le cas CCCR les poids du quotient sont les exposants du diagramme de Dynkin associé à Γ.

Le problème proposé pour la thèse est d'obtenir des résultats similaires pour d'autres cas dans la classification de Popov. Il faut remarquer que le cas [K₂₄] est de quelque sorte le plus compliqué, car c'est l'unique groupe CCR en dimension 3 de partie linéaire quasi-simple ; dans tous les autres cas, en dimension 3, les parties linéaires dΓ sont des groupes finis résolubles. Ce thème offre des ramifications multiples dans d'autres domaines ; comme montrent déjà les travaux susmentionnés sur le cas des groupes CCCR, les quotients Cⁿ/Γ sont liés à de nombreux autres sujets  dont espaces de modules des surfaces K3 et des surfaces de del Pezzo; déformations verselles des singularités; déformations et extensions des espaces projectifs à poids; espaces de modules des fibrés principaux (torseurs) sur les courbes elliptiques. Le travail en cours [3] établit un lien avec les variétés de Calabi–Yau, algèbres de vertex et supercordes compactifiées sur des orbifoldes.

Contact :

Gautami Bhowmik

Directrice de thèse : Gautami Bhowmik

Descriptif du projet de thèse :

L’étude des principes d’incertitude a commencé avec Heisenberg en 1927. La motivation pour étudier ce principe, qui dit que la variance d’une fonction et de sa transformée de Fourier ne peuvent pas être petites toutes les deux, est venu de la mécanique quantique. Motivés par les applications au traitement du signal, Donoho et Stark [1] ont initié l’ étude d’un nouveau type de principe d’incertitude, qui ne concerne pas des fonctions définies sur R mais plutôt des fonctions définies sur des groupes finis. Cette étude a conduit au développement de la théorie des nombres et en combinatoire additive. Par exemple, une nouvelle démonstration de Tao du théorème classique de Cauchy-Davenport sur les sommes d’ensembles de Z/pZ [3].Nous attendons d’autres résultats de nature additive qui vont découler des principes d’incertitudes, notamment en étudiant les autres groupes. Il faudrait des nouvelles notion de support, comme par exemple dans l’extension par Meshulam [2] ou encore par Wigderson et Wigderson [4] du théorème de Donoho-Stark à certains groupes non-abéliens.

Contacts :

Ronan Terpereau

Directeur de thèse : Ronan Terpereau

Descriptif du projet de thèse :

Ce projet concerne l’étude d’objets très importants en mathématique et en physique, à savoir les singularités symplectiques. Une façon de produire des singularités symplectiques consiste à se donner un carquois (les carquois sont des objets mathématiques très simples représentés sous forme de graphes orientés), puis une représentation de ce carquois, et enfin à effectuer la réduction symplectique correspondante. Il découle alors des travaux du mathématicien William Crawley-Boevey (au début des années 2000) que l’on obtient toujours ainsi une singularité symplectique. Il existe par ailleurs une version enrichie de la théorie des carquois, à savoir la théorie des carquois symétriques, dans laquelle les carquois sont remplacés par des carquois munis d’une involution.

L'objectif principal de ce projet de thèse est de comprendre comment les résultats obtenus avec les carquois standard peuvent s’étendre aux carquois symétriques, en particulier en ce qui concerne la géométrie des réductions symplectiques. Cette recherche a des implications importantes en mathématiques, mais aussi en physique. En particulier, nous espérons découvrir de nouveaux types de singularités symplectiques isolées. Mentionnons que ces singularités sont cruciales non seulement en mathématiques, mais également dans le domaine de la physique des particules, où elles apparaissent comme des espaces représentant différents états fondamentaux de la matière.

Contacts :

Rossana Tazzioli

Directrice de thèse : Rossana Tazzioli

Co-directeur de thèse : Laurent Mazliak

Descriptif du projet de thèse :

La réception de la théorie de la relativité générale est un sujet de grande importance qui a fait l'objet de nombreuses études de la part des historiens de la physique. Cependant, le contexte scientifique des années 1920 fut tel que non seulement des physiciens mais aussi des mathématiciens ont participé, en tant qu'opposants ou promoteurs, au développement et à la diffusion de la relativité générale dans leurs pays respectifs. Dans le cas de l'Italie, Tullio Levi-Civita a joué le rôle de grand diffuseur des idées d'Einstein sur la relativité restreinte et générale, écrivant même la préface de l'édition italienne du livre populaire d'Einstein sur la relativité (Einstein 1921). 

Le sujet de thèse que nous proposons entend se concentrer sur un aspect encore relativement peu connu: la réception de la relativité par la communauté mathématique française. Il existe en effet peu d'études sur le sujet, à l'exception du désormais classique article de Michel Paty, dans lequel l'auteur mentionne l'attitude hostile de certains mathématiciens, en particulier Émile Picard et Paul Painlevé (Paty 1987). L'hostilité envers la relativité était d'ailleurs aussi très manifeste du côté des philosophes, et notamment d'Henri Bergson, le plus influent d'entre eux.

En 1922, Einstein est invité à Paris et, probablement motivé par cet événement exceptionnel, Émile Borel publie la même année son essai L'espace et le temps (Borel 1922). Dès le début des années 1920, plusieurs jeunes mathématiciens (souvent normaliens) hésitaient quant à leur orientation disciplinaire. En particulier, ils se demandaient souvent s'ils devaient entreprendre des recherches en relativité ou en probabilité, ces deux domaines étant considérés comme les plus prometteurs de la "physique mathématique", à laquelle ils étaient alors rattachés. C'est le cas d'Henri Eyraud, de Georges Darmois, d'André Metz et de Robert Deltheil et d'autres encore, qui finalement décidèrent en général d'entreprendre des études approfondies (parfois après avoir été jusqu'au doctorat sur une thématique relativiste) dans le domaine des probabilités et des statistiques. Leurs maîtres, qui étaient Borel, Painlevé, Picard, Jacques Hadamard ont sans doute joué un rôle important qu'il serait intéressant de préciser dans ce choix. 

La thèse pourrait également mettre en lumière certains aspects intéressants de la dynamique entre la communauté mathématique et la communauté des physiciens français à une époque où la nouvelle physique théorique prenait forme et se développait. Évidemment, ces aspects sont aussi liés à la manière dont les mathématiciens et les physiciens percevaient leurs relations respectives et mutuelles. Le fait que la théorie des probabilités et la relativité fassent partie toutes deux de la physique mathématique offre un exemple frappant de la porosité et de l'évolution constante de la frontière entre mathématiques, physique et physique mathématique, une porosité qui sous-tend par exemple le grand projet borélien du traité de calcul des probabilités et ses applications (Bustamante et al., 2015). L'ouverture de l'Institut Henri Poincaré en 1928, sous l'impulsion d'Émile Borel, marqua une étape essentielle en France pour le rapprochement des deux disciplines sur la scène mathématique, Borel attribuant à Poincaré le frémissement d'intérêt des mathématiciens français pour les probabilités à cause de leur rôle dans la physique moderne (Mazliak, 2015). La thèse de Matthias Cléry (soutenue en 2020) a apporté beaucoup d'éclaircissements sur le rôle de l'IHP du côté des probabilités. Le présent projet devrait permettre d'ajouter des éléments du côté de la physique mathématique, et de préciser le mode de coexistence, pas toujours simple, des deux branches au sein de l'institut, mais aussi en d'autres lieux académiques en France.

Il y a également des aspects plus spécifiquement mathématiques qu'une thèse sur ce sujet pourrait mettre en évidence. L'un des plus intéressants est certainement lié au calcul tensoriel et à ses difficultés pour s'imposer en France. Il existe en effet un lien étroit entre "relativité générale" et "calcul tensoriel" dans la mesure où les équations de la relativité générale sont exprimées à travers le formalisme tensoriel. L'analyse de l'acceptation de la relativité générale par la communauté mathématique française pourrait aider à mieux comprendre les difficultés de diffusion du calcul tensoriel. Le mathématicien Alphonse Buhl a ainsi mentionné à plusieurs reprises l'opposition farouche de certains de ses collègues de l'Université de Toulouse contre le calcul tensoriel. Dans une lettre datée du 13 janvier 1927, faisant référence à l'édition anglaise du traité sur le calcul tensoriel récemment publié par Levi-Civita (Levi-Civita 1926), Buhl écrivait au mathématicien italien : "Et quand je pense qu'il y a encore, en France, dans les Universités et notamment à Toulouse, des gens qui s'entêtent contre ces magnifiques théories!" La thèse pourrait donc apporter des éclaircissements, au moins partiels, sur les motivations de ces oppositions et, en particulier, rechercher un lien ou une dynamique entre la réception des deux théories, la relativité et le calcul tensoriel.