Offres de thèses

Contact : Chafiq Benhida

Directeur de thèse : Chafiq Benhida

Co-directeur de thèse : Catalin Badea

Descriptif du projet de thèse :

Ce projet de thèse s’inscrit dans le domaine des mathématiques fondamentales, plus précisément en analyse fonctionnelle et en théorie des opérateurs. Voici une présentation succincte du cadre de recherche.

Le produit scalaire d’un espace de Hilbert associe à chaque opérateur linéaire borné défini sur cet espace une forme quadratique continue à valeurs complexes. Grâce à l’identité de polarisation, cette forme quadratique détermine de manière unique l’opérateur. L’image numérique de l’opérateur correspond à l’image de la surface de la boule unité de l’espace de Hilbert sous cette forme quadratique.

Cet ensemble de nombres complexes contient les valeurs propres de l’opérateur (s’il en existe) et son adhérence inclut le spectre de l’opérateur. Un résultat fondamental, établi il y a un siècle par Toeplitz et Hausdorff, montre que l’image numérique est toujours convexe. Ce théorème remarquable a donné lieu à une abondante littérature visant à établir des liens entre les propriétés des matrices et des opérateurs et la géométrie de leurs images numériques.L’objectif de cette thèse est de s’inscrire dans une de ces directions récentes, en explorant et approfondissant ces connexions.Ce projet de thèse s’inscrit dans le domaine des mathématiques fondamentales, plus précisément en analyse fonctionnelle et en théorie des opérateurs. Voici une présentation succincte du cadre de recherche.Le produit scalaire d’un espace de Hilbert associe à chaque opérateur linéaire borné défini sur cet espace une forme quadratique continue à valeurs complexes. Grâce à l’identité de polarisation, cette forme quadratique détermine de manière unique l’opérateur. L’image numérique de l’opérateur correspond à l’image de la surface de la boule unité de l’espace de Hilbert sous cette forme quadratique.Cet ensemble de nombres complexes contient les valeurs propres de l’opérateur (s’il en existe) et son adhérence inclut le spectre de l’opérateur. Un résultat fondamental, établi il y a un siècle par Toeplitz et Hausdorff, montre que l’image numérique est toujours convexe. Ce théorème remarquable a donné lieu à une abondante littérature visant à établir des liens entre les propriétés des matrices et des opérateurs et la géométrie de leurs images numériques.

L’objectif de cette thèse est de s’inscrire dans une de ces directions récentes, en explorant et approfondissant ces connexions.

Contact : Gautami Bhowmik

Directeur de thèse : Gautami Bhowmik

Descriptif du projet de thèse :

Le problème  de représenter chaque nombre entier pair comme somme de deux nombres premiers est connu sous le nom de  conjecture de Goldbach. Nous savons depuis longtemps que cette représentation est presque toujours possible.  Autrement dit, l’ensemble  des nombres pour lesquels la conjecture peut être fausse,  appelé l'ensemble exceptionnel, a pour densité zéro.

Nous  continuerons cet étude pour améliorer les bornes connues  pour la cardinalité de l'ensemble exceptionnel pour le problème classique ainsi que pour des variations du problème de Goldbach, comme par exemple quand les nombres premiers dans la somme  appartiennent à des progressions arithmétiques.

Références

1.H.L. Montgomery, R.C. Vaughan, The exceptional set in Goldbach’s problem. Acta Arith.

27 (1975), 353–370.

2. J. Pintz, A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in

Goldbach’s problem, arXiv:1804.09084.

3. L. Grimmelt, J. Teräväinen, The Exceptional Set in Goldbach's Problem with Almost Twin Primes,

arXiv: 2207.08805.

Contact : Olivier Bouaziz

Directeur de thèse : Olivier Bouaziz

Descriptif du projet de thèse :

Le cancer de la peau non mélanocytaire est l’une des formes de cancer les plus courantes. Bien que cette maladie soit généralement bien traitée, il est nécessaire de la détecter précocement. Le diagnostic repose sur l'examen de la lésion par un dermatologue, dont l’interprétation est subjective. Il peut être approfondi via une biopsie, mais cet examen est invasif, douloureux et peut même aggraver la lésion dans certains cas. L’objectif de la thèse est de concevoir un modèle mathématique de spectroscopie/tomographie par impédance électrique pour caractériser la lésion en profondeur à partir de mesures acquises de manière non invasive, sur la surface de la peau.  Les travaux envisagés visent à combiner des données expérimentales acquises sur une réplique in vitro d'une lésion cutanée et une méthode d'apprentissage profond basée sur une modélisation physique afin de résoudre le problème inverse. Les données expérimentales fourniront un ensemble de données comprenant des mesures d'impédance à la surface de la peau et une quantification 3D des composants dermiques. En adaptant un modèle mathématique liant les propriétés des tissus et la distribution de conductivité au sein du derme et de la lésion, nous serons en mesure de créer des données in silico (mesure d'impédance – composants cutanés). Par la suite, un algorithme d'apprentissage basé sur la physique sera entraîné pour pouvoir étudier les lésions en s'appuyant uniquement sur les mesures d'impédance à la surface de la peau.

Plus précisément, les objectifs de la thèse sont listés ci-dessous :

• Construction d’un modèle capable de prédire la mesure de spectroscopie d’impédance électrochimique.
• Estimation des paramètres du modèle en intégrant les données expérimentales.  Cette estimation se fera en utilisant des méthodes de statistiques afin de résoudre le problème des données manquantes. Un traitement des données expérimentales qui seront possiblement de différents types sera nécessaire afin qu’elles puissent être utilisées de manière efficace dans la phase d’estimation.
• Entraînement d’un algorithme permettant d’effectuer de manière automatique une prédiction des propriétés du tissu à partir d’une nouvelle mesure d’impédance à la surface d’une lésion.
• Étude et vérification de la méthode conçue.
• Étude de la portabilité de la méthode de caractérisation du tissu et de la lésion pour être appliqué au diagnostic des lésions chez les patients.

Contact : Mylène Maïda

Directeur de thèse : Mylène Maïda

Descriptif du projet de thèse :

Dès les origines de la théorie des matrices aléatoires, des processus de Markov à valeurs dans des ensembles de matrices ont été construits et étudiés. Le premier exemple, et sans doute le plus connu, est le mouvement brownien de Dyson: il s'agit du processus des valeurs propres d'un mouvement brownien standard dans l'espace des matrices hermitiennes de taille fixée. Ce processus tient son nom du physicien qui l'a introduit dans les années 60. La répulsion entre les valeurs propres de matrices aléatoires induit une dynamique difficile à analyser à cause de la singularité de l'interaction. Ce processus a suscité beaucoup d’intérêt auprès des physiciens comme auprès des probabilistes, (voir par exemple [1]) et même plus récemment auprès des spécialistes des équations aux dérivées partielles [2]. On dispose maintenant d’un corpus important de résultats concernant le comportement asymptotique de la mesure empirique des particules d’un mouvement brownien de Dyson (convergence vers une solution de l’équation de Fokker-Planck, étude de ses fluctuations, de ses déviations, inégalités fonctionnelles), celui de la plus grande particule ou encore la limite du processus du point de vue des probabilités libres. Les propriétés régularisantes du mouvement brownien de Dyson ont été exploités avec grand succès, notamment pour établir des lois locales pour divers modèles de matrices aléatoires (voir [3]).

Le mouvement brownien de Dyson est intimement lié à l’ensemble unitaire gaussien (GUE), dans le sens où la loi jointe des valeurs propres du GUE en est la mesure invariante. À partir de ce point de vue, on peut construire de nombreuses généralisations, c’est-à-dire des systèmes dynamiques aléatoires, dont la mesure invariante est la loi jointe des valeurs d’autres modèles de matrices (CUE, LUE, Ginibre [4] etc.) ou des mesures de Gibbs du même type, comme des gaz de Coulomb, des gaz de Riesz etc.

Récemment, des techniques inspirées de l'étude du mouvement brownien de Dyson pour des diffusions plus générales (notamment des dynamiques de Langevin) ont permit d'obtenir des résultats importants dans l'étude des gaz de Coulomb sur le plan théorique (see [4]) ou pratique via des algorithmes de simulation de systèmes complexes (see [5]).

L’étude de versions dynamiques de ces systèmes de particules est récente (en particulier lorsqu’on va au-delà de la dimension 1) et de nombreuses questions sont à explorer.

L’objet de cette thèse sera dans un premier temps d’améliorer la compréhension mathématique de ces systèmes dynamiques aléatoires et éventuellement d’utiliser ces nouveaux résultats pour mieux comprendre les mesures invariantes sous-jacentes.

Bibliographie

[1] Anderson, G. W., Guionnet A., Zeitouni, O. An introduction to random matrices. Cambridge Univ. ; 2010.

[2] Bertucci C., Debbah M., Lasry J.-M., Lions P.-L., A spectral dominance approach to large random matrices. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 164, 27-56, 2022.

[3] Erdös L, Yau H. A Dynamical Approach to Random Matrix Theory. Vol 28. American Mathematical Society; 2017. doi:10.1090/cln/028

[4] Bolley F., Chafaï D., Fontbona J., Dynamics of a planar Coulomb gas. Ann. Appl. Probab. 28 (5) 3152 - 3183, October 2018. https://doi.org/10.1214/

[5] Chafaï, D.,  Ferré, G. (2019). Simulating Coulomb and log-gases with hybrid Monte Carlo algorithms. Journal of Statistical Physics 174(3), 692-714. doi:10.1007/s10955-018-2195-6

Contact : Sophie Dabo

Directeur de thèse : Sophie Dabo

Co-directeur de thèse : Loic Lemonnier

Descriptif du projet de thèse :

Le cancer est un problème majeur en santé publique. En effet, le nombre de patients diagnostiqués chaque année en France ne cesse d’augmenter, ce qui est notamment lié au vieillissement de la population. De nombreuses études ont montré que la cancérogenèse implique des modifications d’expression et d’activité de canaux calciques. Plus récemment, le rôle du microenvironnement cellulaire a été mis en évidence dans le contrôle de l’initiation et de la progression tumorale, ainsi que dans l’apparition des phénomènes de résistance aux traitements. Le but de ce projet est d’étudier la signalisation calcique associée aux interactions entre cellules cancéreuses et microenvironnement afin de mieux comprendre la progression tumorale, et de prévenir les phénomènes de résistance aux traitements. Pour cela, nous allons combiner modélisation et analyse de données issues d’expériences biologiques actuellement en cours au sein de l’institut ONCOLille (Institut de Recherches Interdisciplinaires en Cancérologie de Lille). Nous proposons dans cette thèse de concevoir des méthodes innovantes mêlant modélisations déterministe, statistique et machine Learning afin d’analyser les données issues des expériences biologiques et de mieux comprendre les interactions cellulaires. La thèse s’inscrit donc dans un contexte interdisciplinaire avec un impact attendu dans le domaine des mathématiques appliquées. En effet, les questions biologiques et le format particulier des données nécessitent le développement de nouvelles méthodes qui pourront être utilisées par d’autres groupes de recherche.  L’équipe de ce projet et qui encadrera la doctorante ou le doctorant sera composée de : Sophie Dabo (directrice de thèse), Loïc Lemonnier (co-directeur), Alexandre Poulain, Faruk Shaik and Yasmine Touil.

Contact : Benoit Fresse

Directeur de thèse : Benoit Fresse

Descriptif du projet de thèse :

Le sujet de recherche proposé pour cette thèse porte sur la topologie des espaces de configurations. Les espaces de configuration sont des espaces dont les éléments sont des collections de points (P₁,…,P_r) distincts deux à deux dans un espace fixé M.

L’objectif de cette thèse est d'étudier l'homologie des espaces de configurations en relation avec les méthodes de l’homologie persistante. L'homologie persistante est un outil, développé depuis une vingtaine d’année pour les applications en analyse topologique des données, qui vise à identifier des caractéristiques topologiques qui persistent à différents niveaux de résolution spatiale.

Des méthodes mathématiques classiques pour étudier et calculer des invariants topologiques des espaces de configurations sont basées sur des constructions de suites spectrales. La principale idée du projet sera de comparer ces suites spectrales à des constructions analogues qui interviennent en homologie persistante.

Contact : Olivier Goubet

Directeur de thèse : Olivier Goubet

Descriptif du projet de thèse :

Ce projet de thèse est un sujet de mathématiques appliquées (équations aux dérivées partielles, simulation numériques).  Les questions relatives à l’existence et à la stabilité des ondes stationnaires pour des équations de Schrödinger (NLS) avec non-linéarités puissances ou logarithmique sont bien connues et bien documentées dans la littérature mathématique récente. Le cas des systèmes par contre laisse entrevoir encore un pan de recherche riche, dont l’intérêt va croissant depuis quelques années. L’objet de la thèse est : quid de l’existence, de la non unicité et de la stabilité pour des systèmes d’intérêt pour la physique comme les systèmes de Manakov ou de NLS dans un milieu quadratique.

Ce projet de thèse s’inscrit dans la dynamique du projet Stand4Schreq (STANDing waves FOR SCHRödinger Equations).  Ce projet a été déposé pour financement dans la campagne ANR 2025.

La personne (doctorant ou doctorante) recherchée pour accomplir ce projet de thèse aura une formation en analyse appliquée (équations aux dérivées partielles, simulation numérique).

Bibliographie :

 [BJS]T. Bartsch, L. Jeanjean, N. Soave, Normalized sol. for a cubic NLS system in IR³, JMPA (2016)

[C] T. Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, vol. 10, LNM NYU Courant Ins. of Math. Sc,  2003

[DCS] L. Di Menza, M. Colin, JC. Saut, Solitons in quadratic media, Nonlinearity 29, 3, (2016).

[SS] C. Sulem, PL. Sulem, NLS equation, self-focus. and wave-collapse, AMS 139 Springer 1999

Contact : Sophie Grivaux

Directeur de thèse : Sophie Grivaux

Descriptif du projet de thèse :

Ce sujet de thèse porte sur l'étude de certaines propriétés de nature dynamique de systèmes dits linéaires, c'est-à-dire donnés par l'action d'un opérateur linéaire et continu sur un espace de Banach X séparable, usuellement complexe, de dimension infinie. Si (X,T) est un système dynamique linéaire, étudier ses propriétés dynamiques consiste à étudier les propriétés de ses orbites : étant donné un vecteur x de X, l'orbite de x sous l'action de T est l'ensemble des vecteurs de la forme T^n x, où n est un entier positif ou nul et T^n désigne le n-ième itéré de l’opérateur T. Dans ce contexte, l'étude des vecteurs à orbite dense, appelés vecteurs hypercycliques ,est particulièrement intéressante (cf. les deux ouvrages récents [BM] et [GP]). Une des raisons de l’intérêt de cette étude est son lien avec deux problèmes extrêmement importants en théorie des opérateurs, à savoir les Problèmes du Sous-espace et du Fermé Invariant. Le Problème du Sous-espace Invariant pose la question de savoir si, étant donné un opérateur T sur X, il existe un sous-espace fermé M de X non-trivial et T-invariant, tandis que le Problème du Fermé Invariant concerne l'existence d'un fermé T-invariant non-trivial. Remarquons que T possède un sous-espace invariant non-trivial (respectivement un fermé invariant non-trivial) si et seulement si il existe un vecteur non nul non-cyclique (respectivement non-hypercyclique) pour T.

Les Problèmes du Sous-espace Invariant et du Fermé Invariant ont été tous deux résolus par la négative (par Enflo et Read, et Read, respectivement). Le problème est cependant très largement ouvert dans le cas réflexif, en particulier dans le cas Hilbertien : si T est un opérateur linéaire sur un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, T possède-t-il toujours un sous-espace invariant non-trivial ? un fermé invariant non-trivial ?

Il est usuellement fort difficile de déterminer si des opérateurs d'une classe donnée, définis par des conditions de nature analytique, possèdent ou non un sous-espace invariant non-trivial, et cela nécessite souvent le développement d'outils assez sophistiqués (de type calcul fonctionnel par exemple) qui peuvent être utilisés pour une classe donnée d'opérateurs, mais qui sont inadaptés pour l'étude d'autres familles qui sembleraient pourtant assez voisines. Pour tenter de pallier cette difficulté, ce sujet de recherche propose d'attaquer ce type de problème sous l'angle de la généricité au sens de Baire.

Décrivons brièvement cette approche : étant donné un espace de Banach (séparable, de dimension infinie) X, on munit les boules fermées, c'est-à-dire l’ensemble B_M(X) des opérateurs continus sur X de norme inférieure ou égale à M, de topologies (nécessairement plus faibles que celle de la norme opérateur) qui en font des espaces polonais, dans lequel le théorème de Baire est valable. On dit alors qu'une propriété (P) des éléments de B_M(X) est typique (pour la topologie considérée) si l'ensemble des opérateurs de B_M(X) possédant la propriété (P) est résiduel dans B_M(X), c'est-à-dire contient une intersection dénombrable de parties ouvertes et denses. Autrement dit, presque tous les éléments de B_M(X) vérifient la propriété (P) (dans le sens précisé ci-dessus).

L'étude des propriétés typiques des opérateurs de l'espace de Hilbert séparable complexe H pour deux topologies classiques, SOT et SOT*, a été entreprise par Eisner et Matrai dans l'article [EM]. Ils y montrent qu'un opérateur SOT-typique de B_M(H) a un sous-espace invariant non trivial. L'étude des propriétés des opérateurs de l'espace de Hilbert a été poursuivie dans le mémoire [GMM]. Le but de ce sujet de thèse est de développer ce type de méthodes pour étudier certaines classes particulières d'opérateurs hilbertiens. Supposons que (T_a) est une famille de ce type, paramétrée par un paramètre a appartenant à un espace polonais A (l'espace des paramètres pouvant être de dimension infinie). Dans un certain nombre de cas concrets, des méthodes ad hoc ont été développées pour montrer, par exemple, l'existence de sous-espaces invariants pour certaines valeurs du paramètre, précisément décrites. Le but est ici de montrer que pour presque toute valeur du paramètre a, T_a possède un sous-espace invariant non-trivial. Des résultats pourraient être obtenus pour les classes d'opérateurs suivantes, qui ont été récemment l'objet de nombreux travaux, et pour lesquelles le Problème du Sous-espace Invariant reste ouvert :

(T1) Les perturbations de rang 1 d'opérateurs généraux. Tcaciuc a montré très récemment dans [T] que tout opérateur T sur un espace de Banach séparable complexe X possède une perturbation de rang au plus 1 ayant un sous-espace invariant de dimension et de codimension infinies. Est-ce vrai pour presque toute perturbation ?

(T2) Les perturbations de rang 1 d'opérateurs unitaires, ou plus particulièrement d'opérateurs diagonaux unitaires sur l'espace de Hilbert. Les méthodes employées ici pour montrer l'existence de sous-espaces invariants sont très disparates. Est-il vrai que presque toute perturbation de rang 1 d'un opérateur unitaire d'une certaine classe admet un sous-espace invariant ?

(T3) Les perturbations par des décalages à gauche pondérés d’opérateurs diagonaux unitaires. Quelles sont les propriétés dynamiques typiques de ces sommes d'opérateurs ? Cette étude a été entamée dans [GMM]. On peut espérer caractériser complètement l'hypercyclicité ou le caractère chaotique de ces classes d'opérateurs.

Bibliographie :

[BM] F. Bayart, É. Matheron, Dynamics of linear operators, Cambridge Tracts in Mathematics 179 (2009), Cambridge University Press.

[CP] I. Chalendar, J. R. Partington, Modern aspects of the Invariant Subspace Problem, Cambridge Tracts in Mathematics 188 (2011), Cambridge University Press.

[EM] T.Eisner, T. Matrai, On typical properties of Hilbert space operators, Israel J. Math. 195 (2013), p. 247–281.

[GMM] S. Grivaux, É. Matheron et Q. Menet, Linear dynamical systems on Hilbert spaces: typical properties and explicit examples, à paraître dans Mem. Amer. Math. Soc..

[GP] K.-G. Grosse-Erdmann, A. Peris, Linear chaos, Universitext Springer (2011).

[T] A. Tcaciuc,The invariant subspace problem for rank-one perturbations, Duke Math. J.168 (2019),p. 1539–1550.

Contact : Sahbi Keraani

Directeur de thèse : Sahbi Keraani

Descriptif du projet de thèse :

Les équations de Schrödinger non-linéaires (NLS) sont des équations aux dérivées partielles (EDP) très importantes en physique, en particulier en mécanique et en optique quantiques ainsi que pour la théorie des condensats de Bose-Einstein. D’un point de vue mathématique, de nombreuses études ont été réalisées pour mieux comprendre le comportement en temps long des solutions à ces équations, que cela concerne le scattering lorsque la non-linéarité est défocalisante ou les (multi-)solitons dans les modèles focalisants. Pour ce dernier cas, la conjecture de résolution en solitons motive fortement la communauté mathématique, même si elle reste encore hors de portée à part dans le cas intégrable de la non-linéarité cubique en dimension 1.

De telles études se concentrent principalement sur un cadre « lisse » : lorsque la non-linéarité est du type

f(|u|²) u (où u est la solution à l’équation), f est souvent supposé au minimum lipschitzienne. Une exception majeure concerne l’équation de Schrödinger non-linéaire avec non-linéarité logarithmique (logNLS), introduite en physique théorique en 1976 pour sa propriété de séparabilité des variables, unique dans le cadre des équations de Schrödinger non-linéaires. Depuis, plusieurs modèles physiques utilisant cette non-linéarité logarithmique ont été introduits en mécanique et optique quantiques, en physique nucléaire, en mécanique bohmienne, en gravité quantique, en théorie de la superfluidité et des condensats de Bose-Einstein. Les premières études mathématiques pour cette équation datent du début des années 1980 [4, 5], mais un regain d’intérêt a lieu depuis 2014, dû à des résultats surprenants démontrant le caractère complexe de cette non-linéarité [1, 2, 3, 6, 7, 8].

Dans cette thèse, on se propose de s’intéresser à des équations de Schrödinger non-linéaires dont la non-linéarité, du type f(|u|²) u, présente une singularité sur f en 0. Dans un premier temps, on pourra se focaliser sur des non-linéarités qui sont des perturbations polynomiales ou « lisses » du logarithme, avant de regarder des non-linéarités plus générales. L’accent sera d’abord mis sur le cas focalisant, et donc sur des études de type existence et stabilité orbitale des solitons et des solutions de type multi-soliton.

Par la suite, si le temps le permet, on pourra s’intéresser à des sujets dans la continuité, tels que :

• Une étude du cadre semi-classique : analyse BKW, états cohérents, … ;
• une amélioration des résultats concernant le comportement en temps long de logNLS défocalisant ;
• le cadre Gross-Pitaevskii en régime défocalisant, pour des solutions dont le module tend vers 1 à l’infini ;
• …

[1] A. H. Ardila. Orbital stability of Gausson solutions to logarithmic Schrödinger equations. Electron. J. Differential Equations, Vol. 2016, No. 335, pp. 1-9.

[2] R. Carles and I. Gallagher. Universal dynamics for the defocusing logarithmic Schrodinger equation.Duke MathematicalJournal, 167(9) :1761–1801, 2018.

[3] R. Carles, M. Hayashi and T. Ozawa. Low regularity solutions to the logarithmic Schrodinger equation. Pure and Applied Analysis, 2024, 6 (3), pp.859-871.

[4] T. Cazenave. Stable solutions of the logarithmic Schrödinger equation.Nonlinear Anal., 7(10) :1127–1140, 1983.

[5] T. Cazenave and A. Haraux. Equations d’évolution avec non linéarité logarithmique. Annales de la faculté de sciences deToulouse, 5e série, II :21–55, 1980.

[6] G. Ferriere. Convergence rate in Wasserstein distance and semiclassical limit for the defocusing logarithmic Schrödinger equation. Analysis & PDE, 2021, 14 (2), pp.617-666.

[7] G. Ferriere. Existence of multi-solitons for the focusing Logarithmic Non-Linear Schrödinger Equation. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 38 (2021), no. 3, pp. 841–875.

[8] M. Hayashi and T. Ozawa. The Cauchy Problem for the Logarithmic Schrödinger Equation Revisited. Ann. Henri Poincaré (2024).

Contact : Dimitri Markouchevitch

Directeur de thèse : Dimitri Markouchevitch

Descriptif du projet de thèse :

Un groupe cristallographique complexe (CC) Γ est un groupe discret de transformations affines de l'espace complexe Cⁿ ayant un domaine fondamental borné. Tout groupe CC est une extension d'un réseau Λ de  Cⁿ par un groupe fini linéaire G :

0 ⟶ Λ ⟶ Γ ⟶ G ⟶ 1.

Le réseau Λ opère sur Cⁿ par translations, et G=dΓ est le groupe des parties linéaires des transformations de Γ. Le cas où Γ est engendré par des réflexions complexes est particulièrement intéressant ; on appellera de tels Γ groupes CCR. Précisons qu'on définit une réflexion complexe comme toute transformation affine de Cⁿ d'ordre fini dont le lieu fixe est un hyperplan affine (donc contrairement au cas des réflexions réelles, qui sont toutes d'ordre 2, les réflexions complexes peuvent avoir pour ordre n'importe quel entier ≥2). Le sujet de thèse proposé concerne l'étude des quotients Cⁿ/Γ sous les actions de groupes CCR.

Ce sujet se trouve à l'intersection de la géométrie algébrique et de la théorie des représentations. Le quotient  Cⁿ/Γ peut être vu comme le quotient A/G par l'action d'un groupe fini, où A=Cⁿ/Λ est un tore complexe muni d'une structure d'une variété projective algébrique, c'est à dire, une variété abélienne ; le quotient  Cⁿ/Γ≅ A/G devient, de cette façon, une variété projective algébrique, qui est un objet de la géométrie algébrique.

Lorsqu'il s'agit d'une action linéaire d'un groupe fini G engendré par des réflexions sur Cⁿ, le théorème de Shephard–Todd et de Chevalley dit que l'algèbre C[T₁,...,T_n]^G des polynômes invariants est aussi polynomiale, c'est à dire, librement engendrée par n polynômes G-invariants basiques. Le quotient Cⁿ/G, en tant qu'une variété affine algébrique, s'identifie avec le spectre de l'algèbre des invariants :  Cⁿ/G = Spec C[T₁,...,T_n]^G. Le fait que l'algèbre des invariants est polynomiale signifie que le quotient est encore un espace affine complexe : Cⁿ/G ≅ Cⁿ.

De façon similaire, la variété abélienne A introduite dans le cadre des groupes CCR se représente comme le spectre projectif de l'algèbre R de ses fonctions thêta, A = Proj R, et alors le quotient n'est autre que le spectre projectif de l'algèbre des invariants : A/G = Proj R^G. Une conjecture naturelle inspirée par le théorème de  Shephard–Todd–Chevalley suggère que R^G est une algèbre des polynômes, et alors, dans le cas où Γ est un groupe CCR irréductible, le quotient Proj R^G est un espace projectif à poids, pondéré par les degrés des fonctions thêta invariantes basiques. Cette conjecture a été démontrée par Looijenga, Bernstein–Schwarzman, Kac–Peterson, Friedman–Morgan–Witten, Wirthmüller pour les groupes CCR du type de Coxeter (CCCR), c'est à dire, pour les groupes CCR Γ dont la partie linéaire G=dΓ est un sous-groupe du groupe orthogonal réel O(n).

La conjecture est aussi quasiment connue en dimension 2 depuis les année 80, quand Schwarzman, Kaneko, Tokunaga et Yoshida ont donné une liste de plans projectifs à poids qui s'obtiennent comme quotients CCR de C². Cependant, leurs travaux se basaient sur une classification incomplète des groupes CCR de rang 2. Dans un article récent, Koziarz–Rito–Roulleau ont identifié encore un plan projectif à poids qui est un quotient CCR mais n'est pas présent dans les travaux précédents.

En dimension 3, le problème reste ouvert pour les groupes CCR proprement complexes, c'est à dire, qui ne sont pas du type de Coxeter. Ces groupes ont été classifiés par V. Popov. Il y a le seul cas connu, celui de l'unique groupe CCR dont la partie linéaire contient le groupe simple de Klein d'ordre 168, de symbole [K₂₄] dans le tableau de Popov. Notamment, dans [2], il est démontré que le quotient C³/Γ dans ce cas est isomorphe à l'espace projectif à poids P(1,2,4,7). La démonstration s'appuie sur le travail [1], qui donne la description des singularités du quotient, et sur la détermination de l'algèbre des fonctions thêta invariantes. A la différence du cas CCCR, celle-ci n'est pas polynomiale, mais est une seconde algèbre de Veronese de l'algèbre polynomiale définissant l'espace projectif à poids P(1,2,4,7). Il reste une énigme quel sens ont les poids 1, 2, 4, 7; dans le cas CCCR les poids du quotient sont les exposants du diagramme de Dynkin associé à Γ.

Le problème proposé pour la thèse est d'obtenir des résultats similaires pour d'autres cas dans la classification de Popov. Il faut remarquer que le cas [K₂₄] est de quelque sorte le plus compliqué, car c'est l'unique groupe CCR en dimension 3 de partie linéaire quasi-simple ; dans tous les autres cas, en dimension 3, les parties linéaires dΓ sont des groupes finis résolubles. Ce thème offre des ramifications multiples dans d'autres domaines ; comme montrent déjà les travaux susmentionnés sur le cas des groupes CCCR, les quotients Cⁿ/Γ sont liés à de nombreux autres sujets  dont espaces de modules des surfaces K3 et des surfaces de del Pezzo; déformations verselles des singularités; déformations et extensions des espaces projectifs à poids; espaces de modules des fibrés principaux (torseurs) sur les courbes elliptiques. Le travail en cours [3] établit un lien avec les variétés de Calabi–Yau, algèbres de vertex et supercordes compactifiées sur des orbifoldes.

Références

[1] Dimitri Markushevich and Anne Moreau, Action of the automorphism group on the Jacobian of Klein’s quartic curve, to appear in Birational Geometry, Kähler–Einstein Metrics and Degenerations, Springer Proc. Math. Stat., 409, Springer, Cham, 2023, 591–607, arXiv:2107.03745 [math.AG].

[2] Dimitri Markushevich and Anne Moreau, Action of the automorphism group on the Jacobian of Klein’s quartic curve II: Invariant theta-functions, Épijournal Géom. Algébrique 8 (2024), Art. 9, 21 pp.

[3] Dan Israël, Dimitri Markushevich and Anne Moreau, Action of the automorphism group on the Jacobian of Klein’s quartic curve II: Superstring compactifications, work in progress.

Contact : Thomas Simon

Directeur de thèse : Thomas Simon

Descriptif du projet de thèse :

Les processus de Lévy a-stables ont été très étudiés dans les années 1950-1960, et ont connu un regain d’activité depuis une dizaine d’années, dont un premier bilan a été donné dans une monographie récente de A. E. Kyprianou et J.-C. Pardo (Cambridge University Press, 2022). Parmi les quantités étudiées pour ces processus figurent les temps d’arrivée dans des sous-ensembles de l’espace d’état, qui dans le cas réel sont classiquement les points (temps d’atteinte) et les intervalles semi-finis (temps de sortie). Dans le cas limite du mouvement brownien réel, ces deux quantités classiques coïncident et ont une loi explicite, la loi de Lévy qui possède plusieurs propriétés fines : infinie divisibilité, unimodalité, propriété «bell-shape», entre autres.

Le cas non brownien n’est pas encore bien compris et la présente thèse propose d’étudier les propriétés fines des densités des temps d’atteinte ou de sortie. En particulier, il est connu que les temps d’atteinte sont unimodaux et on cherchera à montrer cette propriété dans le cas, plus difficile, des temps de sortie. Il est conjecturé que les temps de sortie sont infiniment divisibles si et seulement si a > 1 et que les temps d’atteinte le sont toujours et on abordera ces deux problèmes ouverts. On étudiera aussi les changements de signe des dérivées successives de telles densités, par analogie avec la propriété « bell-shape » récemment établie pour les lois stables réelles (Kwasnicki, 2020). Les temps d’arrivée dans les intervalles finis et le cas multidimensionnel isotrope, dans l’esprit des travaux récents de l’école polonaise, pourront enfin également être abordés.

Les outils pour étudier ce type de problème mélangent l’analyse classique (positivité complète, convexité, fonctions spéciales) et les probabilités (processus de Lévy et leurs fonctionnelles exponentielles, martingales). Ils demandent une certaine période d’assimilation, dont la durée reste raisonnable et le vif du sujet pourra être abordé rapidement.

Contact : Thomas Simon

Directeur de thèse : Thomas Simon

Descriptif du projet de thèse :

Soit {Z_n, n ≥ 1} une chaîne aléatoire à valeurs réelles. La probabilité de persistance associée est la suite p_n = P[Z_1 >0, … , Z_n > 0],  n ≥ 1, dont la connaissance correspond à celle de la loi du premier temps de passage de {Z_n} au dessous de zéro. Le calcul exact de p_n est rare et on cherche le plus souvent à connaître son comportement asymptotique précis quand n → ∞. Ce comportement asymptotique donne une information sur la structure de la chaîne qui est considérée par les physiciens comme plus intrinsèque que la structure de corrélation, voir (Bray, Majumdar & Schehr, 2013).

L'objectif de la thèse est d'étudier les quantités p_n dans divers contextes. Le premier est celui des chaînes auto-régressives d'ordre 1 :

    Y_1 = x > 0     et   Y_n = θY_{n-1} + X_n pour  n ≥ 1,

où θ est un paramètre réel et {X_n} est une suite i.i.d. appelée la suite des innovations. Il est connu depuis (Hinrichs, Kolb & Wachtel, 2020) que

    p_n ~ V(x) e^{- λ n},  n → ∞

avec V(x) > 0 et λ > 0 indépendante de x. Des calculs non-asymptotiques sont également possibles pour innovations uniformes (Alsmeyer, Bostan, Raschel & Simon, 2023) ou exponentielles (Larralde, 2004), en liaison avec la fonction exponentielle déformée (Wang & Zhang, 2018) :

     E(θ, z)  =  ∑ θ^{n(n-1)/2} z^n/n!

où θ in [-1,1] et z in C. On cherchera à exploiter cette connexion avec la persistance pour mieux comprendre diverses conjectures combinatoires sur E(θ, z) posées dans (Sokal, 2009). 

Le deuxième contexte est celui des chaînes auto-régressives d'ordre supérieur, qui ne sont plus markoviennes et où p_n est moins bien compris même si l'on sait que son comportement asymptotique reste exponentiel - voir (Aurzada & Simon, 2015). On cherchera des connexions combinatoires classiques dans le cas d'innovations explicites comme dans le cas d'ordre 1. Le cas d'ordre 2 et des innovations exponentielles sera étudié en détail.

Le troisième contexte est celui de chaînes ayant une interaction avec tout leur passé, en particulier le cas des marches aléatoires intégrées. Le comportement asymptotique est alors radicalement différent et donne une vitesse polynomiale. On s'attend à

   p_n = n^{-θ + o(1)}

où θ > 0 s'appelle un exposant de persistance. Le cas des marches aléatoires intégrées ayant un deuxième moment est bien compris avec θ = 1/4, depuis les travaux de Sinai - voir (Aurzada & Simon, 2015), et on s'attachera dans cette thèse au cas des marches aléatoires intégrées sans deuxième moment, où l'exposant est seulement compris à la limite d'échelle (intégrale de processus de Lévy stables). On regardera aussi le cas d'autres marches aléatoires interagissantes avec leur passé et en particulier certains calculs récents, mais non rigoureux, de (Brémont, Régnier, Voituriez & Bénichou, 2024) sur la marche aléatoire auto-interactive.

Contact : Rossana Tazzioli

Directeur de thèse : Rossana Tazzioli

Co-directeur de thèse : Laurent Mazliak

Descriptif du projet de thèse :

La réception de la théorie de la relativité générale est un sujet de grande importance qui a fait l'objet de nombreuses études de la part des historiens de la physique. Cependant, le contexte scientifique des années 1920 fut tel que non seulement des physiciens mais aussi des mathématiciens ont participé, en tant qu'opposants ou promoteurs, au développement et à la diffusion de la relativité générale dans leurs pays respectifs. Dans le cas de l'Italie,  Tullio Levi-Civita a joué le rôle de grand diffuseur des idées d'Einstein sur la relativité restreinte et générale, écrivant même la préface de l'édition italienne du livre populaire d'Einstein sur la relativité (Einstein 1921). 

Le sujet de thèse que nous proposons entend se concentrer sur un aspect encore relativement peu connu: la réception de la relativité par la communauté mathématique française. Il existe en effet peu d'études sur le sujet, à l'exception du désormais classique article de Michel Paty, dans lequel l'auteur mentionne l'attitude hostile de certains mathématiciens, en particulier Émile Picard et Paul Painlevé (Paty 1987). L'hostilité envers la relativité était d'ailleurs aussi très manifeste du côté des philosophes, et notamment d'Henri Bergson, le plus influent d'entre eux.

               En 1922, Einstein est invité à Paris et, probablement motivé par cet événement exceptionnel, Émile Borel publie la même année son essai L'espace et le temps (Borel 1922). Dès le début des années 1920, plusieurs jeunes mathématiciens (souvent normaliens) hésitaient quant à leur orientation disciplinaire. En particulier, ils se demandaient souvent s'ils devaient entreprendre des recherches en relativité ou en probabilité, ces deux domaines étant considérés comme les plus prometteurs de la "physique mathématique", à laquelle ils étaient alors rattachés. C'est le cas d'Henri Eyraud, de Georges Darmois, d'André Metz et de Robert Deltheil et d'autres encore, qui finalement décidèrent en général d'entreprendre des études approfondies (parfois après avoir été jusqu'au doctorat sur une thématique relativiste) dans le domaine des probabilités et des statistiques. Leurs maîtres, qui étaient Borel, Painlevé, Picard, Jacques Hadamard ont sans doute joué un rôle important qu'il serait intéressant de préciser dans ce choix. 

              La thèse pourrait également mettre en lumière certains aspects intéressants de la dynamique entre la communauté mathématique et la communauté des physiciens français à une époque où la nouvelle physique théorique prenait forme et se développait. Évidemment, ces aspects sont aussi liés à la manière dont les mathématiciens et les physiciens percevaient leurs relations respectives et mutuelles. Le fait que la théorie des probabilités et la relativité fassent partie toutes deux de la physique mathématique offre un exemple frappant de la porosité et de l'évolution constante de la frontière entre mathématiques, physique et physique mathématique, une porosité qui sous-tend par exemple le grand projet borélien du traité de calcul des probabilités et ses applications (Bustamante et al., 2015).  L'ouverture de l'Institut Henri Poincaré en 1928, sous l'impulsion d'Émile Borel, marqua une étape essentielle en France pour le rapprochement des deux disciplines sur la scène mathématique, Borel attribuant à Poincaré le frémissement d'intérêt des mathématiciens français pour les probabilités à cause de leur rôle dans la physique moderne (Mazliak, 2015). La thèse de Matthias Cléry (soutenue en 2020) a apporté beaucoup d'éclaircissements sur le rôle de l'IHP du côté des probabilités. Le présent projet devrait permettre d'ajouter des éléments du côté de la physique mathématique, et de préciser le mode de coexistence, pas toujours simple, des deux branches au sein de l'institut, mais aussi en d'autres lieux académiques en France.         

             Il y a également des aspects plus spécifiquement mathématiques qu'une thèse sur ce sujet pourrait mettre en évidence. L'un des plus intéressants est certainement lié au calcul tensoriel et à ses difficultés pour s'imposer en France. Il existe en effet un lien étroit entre "relativité générale" et "calcul tensoriel" dans la mesure où les équations de la relativité générale sont exprimées à travers le formalisme tensoriel. L'analyse de l'acceptation de la relativité générale par la communauté mathématique française pourrait aider à mieux comprendre les difficultés de diffusion du calcul tensoriel. Le mathématicien Alphonse Buhl a ainsi mentionné à plusieurs reprises l'opposition farouche de certains de ses collègues de l'Université de Toulouse contre le calcul tensoriel. Dans une lettre datée du 13 janvier 1927, faisant référence à l'édition anglaise du traité sur le calcul tensoriel récemment publié par Levi-Civita (Levi-Civita 1926), Buhl écrivait au mathématicien italien : "Et quand je pense qu'il y a encore, en France, dans les Universités et notamment à Toulouse, des gens qui s'entêtent contre ces magnifiques théories!" La thèse pourrait donc apporter des éclaircissements, au moins partiels, sur les motivations de ces oppositions et, en particulier, rechercher un lien ou une dynamique entre la réception des deux théories, la relativité et le calcul tensoriel. 

Bibliographie

E. Borel, L’espace et le temps, Paris : Ch. Hérissey, 1922

Bustamante, M.-C., Cléry, M., & Mazliak, L. (2015). Le Traité du calcul des probabilités et de ses applications: étendue et limites d'un projet borélien de grande envergure (1921–1939). North-Western European Journal of Mathematics, 1, 85–123.

F. Cardin, R. Tazzioli, Levi-Civita simplifies Einstein. The Ricci rotation coefficients and unified field theories, Archive for history of exact sciences, October 2023

doi.org/10.1007/s00407-023-00322-0

M.Cléry, Le calcul des probabilités à l'IHP. Thèse, 2020.

A.  Einstein, Sulla teoria speciale e generale della relatività, Bologna : Zanichelli,  1921.

L. Mazliak, Poincaré's Odds, in B. Duplantier and V.Rivasseau : Poincaré 1912-2012. Progress in Mathematical Physics, 67. Birkhäuser, 2015 

T. Levi-Civita, Lezioni di calcolo differenziale assoluto, Roma: Stock, 1925; trad. anglaise Blackie and Son, 1926; trad. allemande Springer, 1928

M. Paty, The Scientific Reception of Relativity in France, in The comparative reception of relativity (dirigé par T. F. Glick, Dordrecht/Boston : D. Reidel, 1987), pp. 113-167

Contact : Mihai Tibar

Directeur de thèse : Mihai Tibar

Co-directeur de thèse : Cezar Joita

Descriptif du projet de thèse :

The index of a vector field with isolated zeroes enters in the celebrated Poincaré-Hopf theorem which expresses the Euler characteristic of a compact manifold.  It has been extended in various directions,  in the real and  in  the complex geometry, by several authors such as Eisenbud-Levine, Khimshiashvili, etc. 

In the complex setting, the index becomes a degree. For a holomorphic function germ h of n>1 variables and with isolated singularity,  the local index $\ind_{p} (\grad h )$ equals the  Milnor number $\mu_{h}$,  which has several other topological and algebraic interpretations. In particular, $\mu_{h}$ is equal, modulo a sign,  to the Euler characteristic of the Milnor fibre minus 1.

For any complex projective hypersurface $V \subset \bP_{\bC}^{n}$, defined by a homogeneous polynomial $f : \bC^{n+1} \to \bC$ of degree $d$,  the polar degree $\pol(V)$  is defined as the topological degree of the gradient map, also known as the Gauss map:

$$ \grad f : \bP_{\bC}^{n}\m \Sing V \to  \bP_{\bC}^{n}.$$

 This gradient mapping, in case with $\pol(V) =1$,  is a Cremona transformation.  The corresponding hypersurfaces V were called homaloidal by Dolgachev, who classified the projective  plane curves with this property. 

 The concept of polar degree goes back to 1851 when Hesse  studied hypersurfaces with vanishing Hessian  [Hes1, Hes2],  which is equivalent to $\pol(V) =0$,  and to Gordan and Noether [GN].

The classification of all homaloidal hypersurfaces with isolated singularities was carried out by Huh (June Huh is a Fields medalist 2022) in [Huh]. He confirmed a conjecture stated by Dimca and Papadima [DP] that there are no  homaloidal hypersurfaces with isolated singularities  besides the smooth quadric and the plane curves found by Dolgachev. June Huh proved in [Huh] the sum decomposition of the polar degree in the setting of $V$ with isolated singularities:

$$ \pol(V) = \mu^{\left< n-2\right> }_p(V) +\rk H_{n}(\bP^{n}\m V, (\bP^{n}\m V) \cap H_{p}), $$

where $p\in \Sing V$ is one of the singular points of $V$, and $\mu_{p}^{< n-2>}$ denotes the Milnor number  of a hyperplane section  $H_p \cap V$ through $p$.

 More recently,  Siersma-Steenbrink-Tibar  classified in [SST] the hypersurfaces with isolated singularities and polar degree 2, confirming Huh's conjectural list [Huh].  The finiteness of the range of $(n,d)$ in which there may exist hypersurfaces with isolated singularities and polar degree $k>2$ has been also proved in [SST].

      This PhD project will address several open questions around the enumerative geometry of the degree (or the index) of the gradient, such as:

• The ``admissible hyperplanes'' defined in [ST] set the bases for an extended theory of geometric vanishing cycles. More other classical or recent problems may be approached with this new viewpoint.
•  Study of the conjecture in the case $\dim \Sing V =1$ that there are no other hypersurfaces with $\pol V =0$ besides cones. (Conversely, all projective cones have $\pol V =0$ by definition.)

References

[DP] A. Dimca, S. Papadima, Hypersurface complements, Milnor fibers and higher homotopy groups of arrangments. Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 2, 473-507.

[Do]  I. Dolgachev,  Polar Cremona transformations.  Michigan Math. J. 48 (2000), 191-202.

[GN] P. Gordan,  M. Noether, Über die algebraischen Formen, deren Hesse'sche Determinante identisch verschwindet. Math. Annalen 10 (1876), 547-568.

[Hes1] O. Hesse, Über die Bedingung, unter welcher eine homogene ganze Function von

n unabhängigen Variabeln durch lineäre Substitutionen von n andern unabhängigen Variabeln auf

eine homogene Function sich zurück-führen lässt, die eine Variable weniger enthält. Journal

für die reine und angewandte Mathematik 42 (1851), 117-124.

[Hes2] O. Hesse, Zur Theorie der ganzen homogenen Functionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 56 (1859), 263-269.

[Huh] J. Huh,  Milnor numbers of projective hypersurfaces with isolated singularities. Duke Math. J. 163 (2014), no. 8, 1525-1548.

[SST] D. Siersma, J.H.M. Steenbrink, M. Tibar,  On Huh's conjectures for the polar degree, J. Algebraic Geometry 30  (2021),  189-203.

[ST] D. Siersma, M. Tibar, Polar degree and vanishing cycles, J. Topology 15 (2022), no. 4, 1807-1832. 

[Ti3] M. Tibar,  Polynomials and vanishing cycles. Cambridge Tracts in Mathematics, 170. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.

Contact : Antoine Touzé

Directeur de thèse : Antoine Touzé

Descriptif du projet de thèse :

Une série de résultats démontrés dans les années 1990-2010, par Pirashvili, Suslin, Scorichenko, Vespa et Djament ont montré que l’homologie de la catégorie des modules de type fini sur un anneau R est étroitement reliée à l’homologie de Hochschild topologique THH(R) ainsi qu’à l’homologie des groupes classiques de grand rang à coefficients dans R.

Lorsque R est un corps fini, l’algèbre homologique dans la catégorie des représentations de la catégorie des R-modules projectifs de type fini est bien comprise, à la suite des travaux de Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin (2000). Récemment (2022) des avancées significatives ont été obtenues par Djament et Touzé pour le cas plus général où R est une algèbre sur un corps.

Très peu de choses sont comprises lorsque R est un anneau de torsion non première (même pour les anneaux très élémentaires comme R=Z/4Z!). Ce sujet de thèse propose d’explorer l’homologie des catégories dans ce cas.

Contact : Nicolas Wicker

Directeur de thèse : Nicolas Wicker

Descriptif du projet de thèse :

Dans le cadre des jeux vidéo, la génération aléatoire est relativement ancienne et remonte essentiellement au jeu Rogue dans les années 80, qui a initié le style de jeux rogue-like. A l’époque, les niveaux de jeu étaient piochés au hasard dans une liste pré-établie.

Actuellement, on observe une génération de cartes par assemblage aléatoire d’éléments prédéfinis comme dans Diablo, Path of Exile, Pikmin ou par l’utilisation d’algorithmes sur lesquels on a peu de compréhension comme dans Minecraft avec l’utilisation de bruits de Perlin pour la construction de grottes.

Dans le cadre de la thèse on va s’attacher à faire un tour d’horizon de la génération procédurale en développant à la fois des méthodes de génération de terrains aléatoires et de mouvements aléatoires. Pour la génération de terrain, on pense explorer deux directions : généraliser les résultats de J.-F. Marckert [Marckert2014] à des formes non convexes en utilisant des processus à sauts de type Levy et étendre le résultats de Davydov et Wicker [Davydov2025] à des formes permettant l’apparition de cavités. Concernant les mouvements aléatoires, on s’intéressera à la génération de circuits aléatoires en partant du résultat de Coupier et al. [Coupier2025] ainsi que des marches aléatoires avec incitation à l’auto-évitement.

Enfin, en fonction de l’avancement de la thèse on explorera aussi l’aléatoire dans l’IA des personnages des jeux vidéo ainsi que la génération aléatoire d’évènements.

Bibliographie

[Marckert2014] Compact convex sets of the plane and probability theory. J.-F. Marckert and D. Renault. ESAIM Probability & Statistics. 854-880, 18, 2014

[Coupier2025] Uniform sampling of fixed size polyominoes. D. Coupier, J. Gheysens et N. Wicker (article soumis).

[Davydov2025] A cubic growth model. Y. Davydov et N. Wicker (article soumis).

Contact : Nicolas Wicker

Directeur de thèse : Nicolas Wicker

Co-directeur de thèse : Yann Guermeur

Descriptif du projet de thèse :

Le concept d’epsilon-réseau, introduit dans les années trente, a pris un rôle central en géométrie computationnelle avec l’article fondateur de Kolmogorov et Tihomirov (1961). Dans un espace métrique, un epsilon-réseau d’un domaine est un ensemble de points tel que tout point du domaine est situé à une distance strictement inférieure à epsilon d’un point de cet ensemble. Lorsqu’un domaine possède un epsilon-réseau de cardinal fini, alors son nombre de couverture est le plus petit cardinal de ses epsilon-réseaux. On nomme entropie métrique de logarithme de base deux de ce cardinal.

Au-delà de la géométrie, les entropies métriques jouent également un rôle central en théorie statistique de l’apprentissage (Vapnik, 1998). Lorsqu’elles sont calculées pour des familles de fonctions associées à un modèle de l’inférence empirique, que ce soit en discrimination ou en régression, leur comportement caractérise non seulement la consistance du principe inférentiel, mais encore la vitesse de convergence de l’erreur en apprentissage vers l’erreur en généralisation. Deux illustrations célèbres sont fournies par les machines à vecteurs support (Blanchard et al., 2008) et les réseaux de neurones (Bartlett et al., 2017). Dans le cas général, les entropies métriques sont majorées en fonction de dimensions combinatoires à facteur d’échelle (Kearns et R.E. Schapire, 1994 ; Guermeur, 2007) au moyen de « résultats combinatoires » aussi connus sous le nom de « lemmes de Sauer généralisés ». La majoration de ces dimensions fournit ensuite l’intervalle de confiance du risque garanti (majorant de l’erreur en généralisation).

Ce travail de thèse se compose de deux parties complémentaires. La première porte sur le calcul d’epsilon-réseaux de cardinalité minimale pour des ensembles finis de points. Ce problème est NP-difficile. Deux communautés ont développé des algorithmes fournissant des solutions approchées : celle de la classification (non supervisée) (Bien et Tibshirani, 2012 ; Moniot et al., 2022) et celle de la théorie des graphes (Li et al., 2020). Un premier objectif est d’effectuer une analyse synthétique de l’état de l’art, établissant le lien entre performance et complexité. Cette contribution initiale devrait donner naissance à de nouveaux algorithmes capables en particulier d’opérer dans des espaces non hilbertiens.

La seconde partie du travail de thèse relève de la discrimination à catégories multiples. Elle porte sur la majoration des entropies métriques des familles de fonctions associées aux systèmes discriminants à marge (réseaux de neurones, machines à noyau, forêts aléatoires...). Elle se décomposera suivant deux axes. Le premier consiste à améliorer les résultats combinatoires disponibles pour la principale dimension combinatoire dédiée à ces classifieurs : la dimension de Natarajan à marge (Guermeur, 2025). Le second est la majoration de cette dimension pour les principaux systèmes discriminants de la littérature. Un intérêt tout particulier sera porté à la machine à noyau isotrope (Guermeur et Wicker, 2025) développée dans l’équipe. Pour cette machine, on peut espérer contrôler la capacité en fonction de l’isotropie des données (Ghorbani et al., 2020).

Bibliographie

P.L. Bartlett, D.J. Foster et M. Telgarsky. Spectrally-normalized margin bounds for neural networks. In NIPS 30, 2017.

J. Bien et R. Tibshirani. Hierarchical Clustering with prototypes via minimax linkage. Journal of the American Statistical Association, 106 :1075-1084, 2012.

G. Blanchard, O. Bousquet et P. Massart. Statistical Performance of Support Vector Machines. The Annals of Statistics, 36(2) :489-531.

B. Ghorbani, S. Mei, T. Misiakiewicz, et A. Montanari. When do neural networks outperform kernel methods? In NeurIPS 34, 2020.

Y. Guermeur. VC theory of large margin multi-category classifiers. Journal of Machine Learning Research, 8:2551-2594, 2007.

Y. Guermeur. Sharper bounds on the metric entropies of margin classifiers. (soumis).

Y. Guermeur et N. Wicker. Isotropic kernel machine. (soumis).

M.J. Kearns et R.E. Schapire. Efficient distribution-free learning of probabilistic concepts. Journal of Computer and System Sciences, 48(3):464–497, 1994.

A.N. Kolmogorov et V.M. Tihomirov. Epsilon-entropy and epsilon-capacity of sets in functional spaces. American Mathematical Society Translations, series 2, 17:277-364, 1961.

J. Li, R. Potru et F. Shahrokhi. A performance study of some approximation algorithms for computing a small dominating set in a graph. Algorithms, 13, 339, 2020.

A. Moniot, I. Chauvot de Beauchêne et Y. Guermeur. Inferring epsilon-nets of finite sets in a RKHS. In WSOM+ 22, 2022.

Contact : Changgui Zhang

Directeur de thèse : Changgui Zhang

Descriptif du projet de thèse :

Au début des années 1910, Ramanujuan a envoyé dans des courriers à Hardy, depuis l’Inde, des listes de fonctions spéciales qu’il appelait mock-theta. Ces fonctions ont ensuite été examinées par de nombreux mathématiciens, venant de l’Analyse ou la théorie des nombres, tels que G. N. Watson, G. E. Andrews, etc. Tout récemment, elles ont connu un regain d’intérêt en raison de leurs féconds liens avec la théorie conforme des champs et de la K-théorie algébrique. Un exposé notable sur ce sujet a été donné par D. B. Zagier au Séminaire Bourbaki en 2007.

Dans ce domaine, la plupart d’études faites ces vingt dernières années sont concentrées sur le côté algébrique ou modulaire. Pourtant nous pouvons interpréter certaines d’entre elles au moyen des séries dites d’Appell-Lerch, ces dernières étant solutions d’une famille d’équations aux q-différences ayant une singularité non-fuchsienne à l’origine.

L’objectif de cette thèse est d’étudier les fonctions mock-thêta d’ordre 3 de Ramanujan à travers la théorie analytique des équations aux q-différences. En particulier, nous chercherons à déterminer si ces fonctions possèdent un comportement analogue à celui des fonctions thêta classiques au voisinage de chaque racine de l’unité.

D. Hickerson et E. Mortenson, Dyson's ranks and Appell-Lerch sums, Math. Ann. 367 (2017), no. 1-2, 373–395.

G. N. Watson, The final problem: an account of the mock theta functions. J. Lond. Math. Soc. 11, 55–80 (1936)

D. B. Zagier, Ramanujan's mock theta functions and their applications [d'après Zwegers and Bringmann-Ono], Séminaire Bourbaki, 2007-2008, no. 986

C. Z. On the mock-theta behavior of Appell-Lerch series. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 353 (2015), no. 12, 1067–1073.