Offres de thèses

Contact : Paolo Aceto

Directeur de thèse : Paolo Aceto

Co-directeur de thèse : Marco Golla (CNRS – Université de Nantes)

Descriptif du projet de thèse :

An old and popular topic in classical algebraic geometry is the study of line arrangements in the (complex) projective plane. Typical questions in this context include the existence of realizations of given combinatorial arrangements as well as various uniqueness and classification issues. In the context of smooth and symplectic topology, recent works have shown how some of this questions can be studied in these more flexible categories highliting interesting comparisons between the algebraic and the topological setting.  

The purpose of this thesis project is to push forward such investigations by exploring further generalizations allowing for instance the presence of higher genus curves in the arrangements. Early examples show that constraints on the existence of such realizations can be obtained via standard modern 4-dimensional techniques.

The candidate will have the possibility to focus both on the smooth as well as the symplectic setting thus developing different techniques so as to diversify the relevant working knowledge.

Références :

- R. Gompf, A. Stipsicz 4-manifolds and Kirby calculus, Graduate Studies in Mathematics, AMS

- Daniel Ruberman, Laura Starkston, Topological Realizations of Line Arrangements, International Mathematics Research Notices, Volume 2019, Issue 8, April 2019, Pages 2295–2331, https://doi.org/10.1093/imrn/rnx190

- Gilmer, Patrick M. “Configurations of Surfaces in 4-Manifolds.” Transactions of the American Mathematical Society, vol. 264, no. 2, 1981, pp. 353–80

Contact : Cécile Armana

Directeur de thèse : Cécile Armana

Descriptif du projet de thèse :

Les courbes elliptiques sont des objets de grand intérêt en géométrie arithmétique, de part leur structure à la fois géométrique (courbe algébrique) et algébrique (groupe abélien). Les représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques sur les corps des nombres ont suscité, et suscitent encore, de très nombreux travaux. Un résultat emblématique est le théorème de l’image ouverte de Serre (1972) : Soit E une courbe elliptique non CM définie sur un corps de nombres K. L’image de la représentation galoisienne adélique du groupe de Galois absolu de K, associée aux points de torsion de E, est un sous-groupe ouvert de GL_2(Zhat), autrement dit cette image est d’indice fini. Il a donné lieu à de multiples prolongements notamment en dimension supérieure, et des questions encore ouvertes.

Depuis les années 1970, une longue série de profondes analogies entre d’une part les courbes elliptiques sur les corps des nombres, d’autre part les modules de Drinfeld sur les corps de fonctions en caractéristique non nulle, s’inscrivent dans un parallèle entre l’arithmétique des corps de nombres et celle des corps de fonctions, particulièrement dans le contexte de la correspondance de Langlands. En 2009, Pink et Rütsche ont démontré un analogue du théorème de Serre pour les modules de Drinfeld de rang quelconque et la représentation galoisienne associée à leurs points de torsion. Plusieurs travaux récents se sont intéressés à la situation où la représentation adélique est surjective, en exhibant des exemples de modules de Drinfeld – seul ou en famille – qui satisfont cette propriété (Chen, 2021, 2022) et en prouvant des résultats de nature statistique sur ce type de comportement parmi l’ensemble des modules de Drinfeld de rang donné (Chen 2024, Ray 2024). Récemment Zywina (2025) a prouvé que la densité des modules de Drinfeld de rang 2 pour lesquels la représentation est surjective est strictement positive. Le sujet proposé consiste à s’inscrire dans ces avancées récentes en apportant des contributions à l’étude des représentations galoisiennes associées aux modules de Drinfeld de rang quelconque, qu’elles soient adéliques, modulo un idéal premier, ou résiduelles. On pourra s’intéresser en particulier à des questions de nature effective sur ces représentations, et à l’étude d’entrelacements pouvant expliquer le défaut de surjectivité.

Contact : Antoine Ayache

Directeur de thèse : Antoine Ayache

Descriptif du projet de thèse :

Le mouvement brownien fractionnaire (mbf) BH(t)t∈R est l’un des processus gaussiens les plus connus ; il s’agit en fait d’une extension tout à fait naturelle du mouvement brownien qui, contrairement à ce dernier, possède des accroissements corrélés entre eux. Le mbf a été abondamment étudié, non seulement à cause de son grand intérêt d’un point de vue théorique mais aussi parce qu’il est très utile dans de nombreuses applications liées entre autres au traitement du signal. Il dépend du seul paramètre H∈0,1, appelé le paramètre de Hurst, et il est défini par l’intégrale stochastique de Wiener-Itô : BH(t)=-∞+∞(t-s)+H-1/2-(-s)+H-1/2dB(s), pour tout t∈R. Il est auto-similaire (invariant en loi par changements d’échelle), ce qui en fait un objet de nature fractale. De plus, ses accroissements sont stationnaires (invariant en loi par translations).

Il y a quelques années l’article [PT] a introduit le mouvement brownien fractionnaire généralisé (mbfg) X(t)t∈R qui, quant-à-lui, dépend de deux paramètres, le paramètre de Hurst H∈0,1 et un autre paramètre γ∈0,1. Ce processus gaussien est défini par : X(t)=-∞+∞(t-s)+H-1/2-γ/2-(-s)+H-1/2-γ/2s-γ/2dB(s), pour tout t∈R. Divers résultats concernant le comportement de ses trajectoires ont été obtenus dans les trois articles [IPT1, WX1, WX2]. Bien que X(t)t∈R soit auto-similaire ses accroissements sont non-stationnaires, ce qui le rend plus flexible que le mbf et donc mieux adapté que lui à la modélisation de certains phénomènes par exemple en finance, comme le souligne l’article [IPT2]. Cependant le caractère gaussien de X(t)t∈R et le fait que ses paramètres restent constants au cours du temps constituent de sérieuses restrictions de ce modèle ; d’où l’intérêt de chercher à construire et à étudier des processus stochastiques non-gaussiens et/ou multifractionnaires (les paramètres constants du mbfg sont remplacés par des fonctions ou même des processus stochastiques) qui l’étendent.

Dans le cadre de cette thèse on cherchera à atteindre les cinq objectifs suivants :

      (1) Étudier le comportement des trajectoires et des propriétés en loi d’une première extension multifractionnaire gaussienne du mbfg, désignée par Y(t)t∈R et obtenue en remplaçant les paramètres H et γ par des fonctions déterministes H(t) et  γ(t) dépendant de la variable t qui représente le temps et sert d’indice pour le processus. Pour ce faire on cherchera entre autres à utiliser des méthodologies qui s’inspirent de celles présentées dans le livre [A1] et de celles introduites dans l’article [A2].

      (2) Étudier le comportement des trajectoires et des propriétés en loi d’une seconde extension multifractionnaire non-gaussienne du mbfg, désignée par Ztt∈R et obtenue en remplaçant les paramètres H et γ par des processus stochastiques Hss∈R et γ(s)s∈R adaptés à la filtration du mouvement brownien B(s)s∈R qui engendre l’intégrale stochastique de Wiener-Itô. Pour ce faire on cherchera entre autres à mettre en œuvre des méthodologies qui s’inspirent de celles des deux articles [LMS, AB2].

      (3) Étudier le comportement des trajectoires et des propriétés en loi d’une extension non-gaussienne de lois marginales stables à queues lourdes du processus multifractionnaire Y(t)t∈R, désignée par S(t)t∈R et obtenue en remplaçant le mouvement brownien B(s)s∈R, qui engendre l’intégrale stochastique de Wiener-Itô, par un processus de Lévy stable. Pour ce faire on cherchera entre autres à utiliser des méthodologies qui s’inspirent de celles des trois articles [ST1, ST2, AH1].

      (4) Essayer de trouver des méthodes permettant la simulation sur un intervalle compact des trajectoires des processus multifractionnaires Y(t)t∈R, Ztt∈R et S(t)t∈R. Pour ce faire on cherchera entre autres à s’inspirer des méthodes de simulation, via la base de Haar, introduites dans les deux articles [H, AEH].

      (5) Essayer de trouver des estimateurs statistiques pour les paramètres des processus multifractionnaires Y(t)t∈R, Ztt∈R et S(t)t∈R, et des lois limites pour ces estimateurs. Pour ce faire on cherchera entre autres à s’inspirer de certaines idées des trois articles [AB2, AH1, BS].

Bibliographie :

[A1] A. Ayache. Multifractional stochastic fields: wavelet strategies in multifrational frameworks. World Scientific (2019).

[A2] A. Ayache. Lower bound for local oscillations of Hermite processes. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 130, Iss. 8, pp. 4593-4607, (2020).

[AB1] A. Ayache, F. Bouly. Moving average multifractional processes with random exponent: lower bound for local oscillations. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 146, pp. 143-163, (2022).

[AB2] A. Ayache, F. Bouly. Uniformly and strongly consistent estimation for the random Hurst function of a multifractional process. ALEA, Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics, Vol. 20, Iss. 2, pp. 1587-1614, (2023).

[AEH] A. Ayache, C. Esser, J. Hamonier. A new multifractional process with random exponent. Risk and Decision Analysis, Vol. 7, Iss. 1-2, pp. 5--29, (2018).

[AH1] A. Ayache, J. Hamonier. Linear multifractional stable motion: fine path properties. Revista Matemática Iberoamericana, Vol. 30, Iss. 4, pp. 1301-1354 (2014).

[AH2] A. Ayache, J. Hamonier. Uniformly and strongly consistent estimation for the Hurst function of a linear multifractional stable motion. Bernoulli, Vol. 23, Iss. 2, 1365-1407 (2017).

[BS] J.-M. Bardet, D. Surgailis. Nonparametric estimation of the local Hurst function of multifractional Gaussian processes. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 123, Iss. 3, pp. 1004-1045, (2013).

[H] J. Hamonier. Linear Multifractional Stable Motion: Representation via Haar basis. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 125, Iss. 3, pp. 1127-1147, (2015).

[IPT1] T. Ichiba, G. Pang, M.S. Taqqu. Path properties of generalized fractional Brownian motion. Journal of Theoretical Probability, Vol. 35, Iss. 1, pp. 550-574, (2022).

[IPT2] T. Ichiba, G. Pang, M.S. Taqqu. Semimartingale properties of a generalized fractional Brownian motion and its mixtures with applications in asset pricing. Finance and Stochastics, Vol. 29, Iss. 3, pp. 757-789, (2025).

[LMS] D. Loboda, F. Mies, A. Steland. Regularity of multifractional moving average processes with random Hurst exponent. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 140, pp. 21-48, (2021).

[PT] G. Pang, M.S. Taqqu. Nonstationary self-similar processes as scaling limits of power-law shot noise processes and generalizations of fractional Brownian motion. High Frequency. Vol. 2, Iss. 2, pp. 95-112, (2019).

[ST1] S. Stoev, M.S. Taqqu. Stochastic properties of the linear multifractional stable motion. Advances in Applied Probability, Vol. 36, Iss. 4, pp. 1085-1115, (2004).

[ST2] S. Stoev, M.S. Taqqu. Path properties of the linear multifractional stable motion. Fractals, Vol. 13, Iss. 02, pp. 157-178, (2005).

[WX1] R. Wang, Y. Xiao. Exact Uniform Modulus of Continuity and Chung’s LIL for the Generalized Fractional Brownian Motion. Journal of Theoretical Probability, Vol. 35, Iss. 4, 2442-2479, (2022).

[WX2] R. Wang, Y. Xiao. Lower functions and Chung's LILs of the generalized fractional Brownian motion. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 514, Iss. 2, 126320, (2022).

Contact : Gautami Bhowmik

Directeur de thèse : Gautami Bhowmik

Descriptif du projet de thèse :

Le problème de représenter chaque nombre entier pair comme somme de deux nombres premiers est

connu sous le nom de conjecture de Goldbach. Nous savons depuis longtemps que cette représentation est presque toujours possible. Autrement dit, l’ensemble des nombres pour lesquels la conjecture peut être fausse,appelé l'ensemble exceptionnel, a pour densité zéro.

Nous continuerons cet étude pour améliorer les bornes connues pour la cardinalité de l'ensemble exceptionnel pour le problème classique ainsi que pour des variations du problème de Goldbach, comme par exemple quand les nombres premiers dans la somme appartiennent à des progressions arithmétiques.

Un  mélange de théorie des nombres computationnelle et analytique permettra de progresser dans ces problèmes.

[1] T. Estermann, On Goldbach’ s problem: Proof that almost all even positive integers are sums

of two primes, Proc. London Math. Soc.(2) 44 (1938), 307– 314.

[2] H.L. Montgomery, R.C. Vaughan, The exceptional set in Goldbach’s problem. Acta Arith.

27 (1975), 353–370.

[3] J. Pintz, A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in

Goldbach’s problem, arXiv:1804.09084.

[4] L. Grimmelt, J. Teräväinen, The Exceptional Set in Goldbach's Problem with Almost Twin Primes,

arXiv: 2207.08805

Contact : Benoit Fresse

Directeur de thèse : Benoit Fresse

Descriptif du projet de thèse :

Le sujet de recherche proposé pour cette thèse porte sur la topologie des espaces de configurations. Les espaces de configuration sont des espaces dont les éléments sont des collections de points (P1,…,Pr) distincts deux à deux dans un espace fixé M.

L’objectif de cette thèse est d'étudier l'homologie des espaces de configurations en relation avec les méthodes de l’homologie persistante. L'homologie persistante est un outil, développé depuis une vingtaine d’année pour les applications en analyse topologique des données, qui vise à identifier des caractéristiques topologiques qui persistent à différents niveaux de résolution spatiale.

Des méthodes mathématiques classiques pour étudier et calculer des invariants topologiques des espaces de configurations sont basées sur des constructions de suites spectrales. La principale idée du projet sera de comparer ces suites spectrales à des constructions qui interviennent en homologie persistante.

Contact : Emmanuel Fricain

Directeur de thèse : Emmanuel Fricain

Co-encadrant : Noé de Rancourt

Descriptif du projet de thèse :

Le but de ce sujet est l’étude de l’espace de Banach c₀ du point de vue de la théorie de Ramsey, une branche de la combinatoire étudiant les coloriages de structures et l’existence de grandes sous-structures sur lesquelles ces coloriages ont un comportement régulier. Il existe déjà des résultats de type Ramsey sur c₀, dus à Gowers, mais ils concernent uniquement les coloriages de certaines suites de vecteurs bien positionnées, les bloc-suites. On se propose dans cette thèse de tenter d’obtenir des résultats pour toutes les suites de vecteurs. On se rapprochera ainsi de l’esprit de la théorie de Ramsey structurelle, une branche de la théorie de Ramsey en plein essor pour les structures discrètes, et commençant à se développer pour les structures continues.

L’objectif est double. Premièrement, c₀ est un bon cas test pour le développement de la théorie des grands degrés de Ramsey non-compacts. Les grands degrés de Ramsey sont des invariants de certaines structures, centraux en théorie de Ramsey structurelle. D’abord étudiés pour les structures discrètes, ils ont été récemment généralisés à certaines structures continues par Bice, de Rancourt, Hubička et Konečný ; dans ce cadre, ces invariants sont des espaces métriques compacts. Le développement de versions non-compactes est une question naturelle, motivée par les problèmes de distorsion en géométrie des espaces de Banach, et pourra être abordé dans cette thèse.

Deuxièmement, on pourra envisager des applications à la géométrie non-linéaire des espaces de Banach. Cette théorie étudie notamment les plongements non-linéaires entre espaces de Banach (plongements lipschitziens, grossiers…) ; une question centrale, étudiée par Kalton et plus récemment par Braga, Lancien, Petitjean et Procházka, est celle de savoir dans quels espaces de Banach c₀ se plonge pour ces différentes notions. Un objectif de cette thèse sera l’obtention de résultats de Ramsey canoniques dans c₀, qui pourraient aider à l’étude de cette question.

Des connaissances de base en analyse fonctionnelle et topologie générale (niveau master) sont recommandées pour postuler à ce sujet.

Ce sujet s’inscrit dans l’axe Systèmes dynamiques complexes du CDP C²EMPI.

Contact : Olivier Goubet

Directeur de thèse : Olivier Goubet

Descriptif du projet de thèse :

Ce projet de thèse est un sujet de mathématiques appliquées (équations aux dérivées partielles, simulation numériques).  Les questions relatives à l’existence et à la stabilité des ondes stationnaires pour des équations de Schrödinger (NLS) avec non-linéarités puissances ou logarithmique sont bien connues et bien documentées dans la littérature mathématique récente. Le cas des systèmes par contre laisse entrevoir encore un pan de recherche riche, dont l’intérêt va croissant depuis quelques années. L’objet de la thèse est : quid de l’existence, de la non unicité et de la stabilité pour des systèmes d’intérêt pour la physique comme les systèmes de Manakov ou de NLS dans un milieu quadratique.

Ce projet de thèse s’inscrit dans la dynamique du projet SWANSEA (standing  waves for SchrödingerEquations and systems).  Ce projet a été déposé pour financement dans la campagne ANR 2026.

La personne (doctorant ou doctorante) recherchée pour accomplir ce projet de thèse aura une formation en analyse appliquée (équations aux dérivées partielles, simulation numérique).

Bibliographie :

 [BJS]T. Bartsch, L. Jeanjean, N. Soave, Normalized sol. for a cubic NLS system in IR³, JMPA (2016)

[C] T. Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, vol. 10, LNM NYU Courant Ins. of Math. Sc,  2003

[DCS] L. Di Menza, M. Colin, JC. Saut, Solitons in quadratic media, Nonlinearity 29, 3, (2016).

[SS] C. Sulem, PL. Sulem, NLS equation, self-focus. and wave-collapse, AMS 139 Springer 1999

Contact : Dimitri Markouchevitch

Directeur de thèse : Dimitri Markouchevitch

Descriptif du projet de thèse :

Un groupe cristallographique complexe (CC) Γ est un groupe discret de transformations affines de l'espace complexe Cⁿ ayant un domaine fondamental borné. Tout groupe CC est une extension d'un réseau Λ de  Cⁿ par un groupe fini linéaire G :

0 ⟶ Λ ⟶ Γ ⟶ G ⟶ 1.

Le réseau Λ opère sur Cⁿ par translations, et G=dΓ est le groupe des parties linéaires des transformations de Γ. Le cas où Γ est engendré par des réflexions complexes est particulièrement intéressant ; on appellera de tels Γ groupes CCR. Précisons qu'on définit une réflexion complexe comme toute transformation affine de Cⁿ d'ordre fini dont le lieu fixe est un hyperplan affine (donc contrairement au cas des réflexions réelles, qui sont toutes d'ordre 2, les réflexions complexes peuvent avoir pour ordre n'importe quel entier ≥2). Le sujet de thèse proposé concerne l'étude des quotients Cⁿ/Γ sous les actions de groupes CCR.

Ce sujet se trouve à l'intersection de la géométrie algébrique et de la théorie des représentations. Le quotient  Cⁿ/Γ peut être vu comme le quotient A/G par l'action d'un groupe fini, où A=Cⁿ/Λ est un tore complexe muni d'une structure d'une variété projective algébrique, c'est à dire, une variété abélienne ; le quotient  Cⁿ/Γ≅ A/G devient, de cette façon, une variété projective algébrique, qui est un objet de la géométrie algébrique.

Lorsqu'il s'agit d'une action linéaire d'un groupe fini G engendré par des réflexions sur Cⁿ, le théorème de Shephard–Todd et de Chevalley dit que l'algèbre C[T₁,...,T_n]^G des polynômes invariants est aussi polynomiale, c'est à dire, librement engendrée par n polynômes G-invariants basiques. Le quotient Cⁿ/G, en tant qu'une variété affine algébrique, s'identifie avec le spectre de l'algèbre des invariants :  Cⁿ/G = Spec C[T₁,...,T_n]^G. Le fait que l'algèbre des invariants est polynomiale signifie que le quotient est encore un espace affine complexe : Cⁿ/G ≅ Cⁿ.

De façon similaire, la variété abélienne A introduite dans le cadre des groupes CCR se représente comme le spectre projectif de l'algèbre R de ses fonctions thêta, A = Proj R, et alors le quotient n'est autre que le spectre projectif de l'algèbre des invariants : A/G = Proj R^G. Une conjecture naturelle inspirée par le théorème de  Shephard–Todd–Chevalley suggère que R^G est une algèbre des polynômes, et alors, dans le cas où Γ est un groupe CCR irréductible, le quotient Proj R^G est un espace projectif à poids, pondéré par les degrés des fonctions thêta invariantes basiques. Cette conjecture a été démontrée par Looijenga, Bernstein–Schwarzman, Kac–Peterson, Friedman–Morgan–Witten, Wirthmüller pour les groupes CCR du type de Coxeter (CCCR), c'est à dire, pour les groupes CCR Γ dont la partie linéaire G=dΓ est un sous-groupe du groupe orthogonal réel O(n).

La conjecture est aussi quasiment connue en dimension 2 depuis les année 80, quand Schwarzman, Kaneko, Tokunaga et Yoshida ont donné une liste de plans projectifs à poids qui s'obtiennent comme quotients CCR de C². Cependant, leurs travaux se basaient sur une classification incomplète des groupes CCR de rang 2. Dans un article récent, Koziarz–Rito–Roulleau ont identifié encore un plan projectif à poids qui est un quotient CCR mais n'est pas présent dans les travaux précédents.

En dimension 3, le problème reste ouvert pour les groupes CCR proprement complexes, c'est à dire, qui ne sont pas du type de Coxeter. Ces groupes ont été classifiés par V. Popov. Il y a le seul cas connu, celui de l'unique groupe CCR dont la partie linéaire contient le groupe simple de Klein d'ordre 168, de symbole [K₂₄] dans le tableau de Popov. Notamment, dans [2], il est démontré que le quotient C³/Γ dans ce cas est isomorphe à l'espace projectif à poids P(1,2,4,7). La démonstration s'appuie sur le travail [1], qui donne la description des singularités du quotient, et sur la détermination de l'algèbre des fonctions thêta invariantes. A la différence du cas CCCR, celle-ci n'est pas polynomiale, mais est une seconde algèbre de Veronese de l'algèbre polynomiale définissant l'espace projectif à poids P(1,2,4,7). Il reste une énigme quel sens ont les poids 1, 2, 4, 7; dans le cas CCCR les poids du quotient sont les exposants du diagramme de Dynkin associé à Γ.

Le problème proposé pour la thèse est d'obtenir des résultats similaires pour d'autres cas dans la classification de Popov. Il faut remarquer que le cas [K₂₄] est de quelque sorte le plus compliqué, car c'est l'unique groupe CCR en dimension 3 de partie linéaire quasi-simple ; dans tous les autres cas, en dimension 3, les parties linéaires dΓ sont des groupes finis résolubles. Ce thème offre des ramifications multiples dans d'autres domaines ; comme montrent déjà les travaux susmentionnés sur le cas des groupes CCCR, les quotients Cⁿ/Γ sont liés à de nombreux autres sujets  dont espaces de modules des surfaces K3 et des surfaces de del Pezzo; déformations verselles des singularités; déformations et extensions des espaces projectifs à poids; espaces de modules des fibrés principaux (torseurs) sur les courbes elliptiques. Le travail en cours [3] établit un lien avec les variétés de Calabi–Yau, algèbres de vertex et supercordes compactifiées sur des orbifoldes.

(1) Dimitri Markushevich and Anne Moreau, Action of the automorphism group on the Jacobian of Klein’s quartic curve, to appear in Birational Geometry, Kähler–Einstein Metrics and Degenerations, Springer Proc. Math. Stat., 409, Springer, Cham, 2023, 591–607, arXiv:2107.03745 [math.AG].

(2) Dimitri Markushevich and Anne Moreau, Action of the automorphism group on the Jacobian of Klein’s quartic curve II: Invariant theta-functions, Épijournal Géom. Algébrique 8 (2024), Art. 9, 21 pp.

(3) Dan Israël, Dimitri Markushevich and Anne Moreau, Action of the automorphism group on the Jacobian of Klein’s quartic curve II: Superstring compactifications, work in progress.

Contact : Patrick Popescu-Pampu

Directeur de thèse : Patrick Popescu-Pampu

Descriptif du projet de thèse :

Local tropicalization is a local version, adapted to the study of singularities of algebraic, analytic or formal varieties, of the global tropicalization of algebraic subvarieties of algebraic tori. The foundations of this theory were established by Dmitry Stepanov and myself in 2013. Its study is developing, as shown by the fact that we received an invitation to write a survey of it in the eighth volume of the Handbook of Geometry and Topology of Singularities. This volume was just published by Springer in January 2026. Briefly speaking, local tropicalization measures valuation-theoretically the way the germ approaches the singular point in its ambient space and gives important indications on the toric modifications of the germ.

In a 2024 paper published by Angelica Cueto, Dmitry Stepanov and myself in Mathematische Annalen was described the local tropicalization of the important class of isolated complete intersection surface singularities consisting in the so-called splice type singularities, introduced in 2005 by Walter Neumann and Jonathan Wahl. In this paper, we pioneered a method of computation of local tropicalizations by successive elimination of convex cones.

The main aim of this thesis project is to extend this method to other classes of complete intersection singularities, possible higher-dimensional, and to develop other methods of computation of local tropicalizations.

In order to start working on this topic it is necessary to have a basic knowledge of complex algebraic geometry, algebraic topology and commutative algebra.

Contact : Nicole Raulf

Directeur de thèse : Nicole Raulf

Co-encadrant de thèse : Didier Lesesvre

Descriptif du projet de thèse :

For a number field K∖Q, the discrete subgroup Γ≔ΓK≔PSL2OK, where OK denotes the ring of integers of K, is a co-finite subgroup of PSL2C. The spectral theory of the hyperbolic Laplacian Δ on the hyperbolic space MΓ=Γ∖H3 is well-developed. In particular, as Γ is not co-compact but co-finite, the spectrum of -Δ consists of a discrete part of finite multiplicity and an absolutely continuous part. The discrete part features deeply arithmetic objects among which are the Bianchi modular forms, which are specific cases of automorphic forms GL2AK,themselves specific cases of automorphic representations of  GL2.

To such an automorphic form can be associated an L-function. The spacings of zeros of families of L-functions are well-understood: they are distributed according to a universal law, independent of the exact family under consideration, as proven by Rudnick and Sarnak. This recovers the behaviour of spacings between eigenangles of the classical groups of random matrices. However the distribution of low-lying zeros i.e. those located near the real axis, attached to reasonable families of L-functions does depend upon the specific setting under consideration. More precisely, let Ls,f be an L-function attached to an arithmetic object f. Consider its nontrivial zeros written in the  ρf=12+iγf where γf is a priori a complex number. There is a notion of analytic conductor c(f) of f quantifying the number of zeros of L(s,f) in a given region, and we renormalize the mean spacing of the zeros to 1 by setting  γf=logcfγf/2π.

Let $h be an even Schwartz function on R whose Fourier transform is compactly supported, in particular it admits an analytic continuation to all C. The one-level density attached to f is defined by

Df,h≔γfhγf.

The analogy with the behaviour of small eigenangles of random matrices led Katz and Sarnak to formulate the so-called desity conjecture, claiming the same universality for the types of symmetry of families of L-functions as those arising for classical groups of random matrices:

Conjecture (Katz-Sarnak) Let F be a family of L-functions and FX a finite truncation increasing to F when X grows. Then there is one classical group G among U, SO(even), SO(odd), O or Sp such that for all even Schwartz function h on R with compactly supported Fourier transform,

1FXf∈FXDf,h ⟶RhxWGxdx,

where WGx is the explicit distribution function modellng the distribution of the eigenangles of the corresponding group of random matrices. The family F is then said to have the type of symmetry of G.

This conjecture is far from reach, but partial results do exist in some cases, with restrictions on the admissible test-functions h.  This thesis would aim at proving such a result towards the Katz-Sarnak conjecture for Bianchi modular forms. This would build on the Weil explicit formulas that relate distribution on zeros to distribution of automorphic coefficients, and on trace formulas that relate such distribution of coefficients to arithmetic sums that can are better understood.

The limiting distribution displayed in the Katz-Sarnak conjecture display a transition phenomenon. Limiting statistics for densities of low-lying zeros around this critical point, beyond which symmetry is broken between different families, have been studied both numerically using elliptic curve databases and theoretically using explicit formulas. They feature specific oscillations uncovered in recent works, that can be interpreted as correlations between root numbers and automorphic coefficients. This phenomenon has been intensively active in the recent two years, and has been studied in very few cases: for elliptic curves by He et al., for modular forms by Zubrilina (in the level aspect) and for modular and Maass forms by Bober et al. (in the weight aspect). All these works rely on the Selberg trace formula, and are henceforth strongly tied to their specific settings. This thesis will as a second main direction explore an alternative proof using the relative trace formula, which is more robust with respect to the underlying group, and has been made very explicit in the case of the Bianchi modular group by Motohashi. This would be the first instance of such a phenomenon proven beyond GL2R.

Contact : Arthur Renaudineau

Directeur de thèse : Arthur Renaudineau

Descriptif du projet de thèse :

La topologie des surfaces algébriques réelles demeure un domaine largement ouvert des mathématiques contemporaines. De nombreuses questions fondamentales restent sans réponse, parmi lesquelles la détermination du nombre maximal de composantes connexes — ou encore du nombre maximal d’anses — d’une surface quintique lisse dans l’espace projectif réel.

Dans le cas des courbes algébriques réelles, une approche particulièrement fructueuse consiste à étudier la complexification de la courbe réelle, ainsi que le quotient de cette complexification par l’action de la conjugaison complexe. Cette démarche permet de relier la topologie réelle de la courbe à celle d’une surface réelle obtenue comme quotient, et conduit notamment à des contraintes topologiques profondes, telles que la formule d’orientation complexe de Rokhlin.

Pour les surfaces algébriques réelles, cette approche reste en revanche très peu explorée. Dans ce cadre, le quotient de la complexification par la conjugaison complexe est une variété réelle de dimension 4, et l’application quotient définit un revêtement double ramifié le long de la surface réelle. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier certaines propriétés topologiques et géométriques de cette variété de dimension 4, et de comprendre si elles peuvent conduire à de nouvelles restrictions sur la topologie des surfaces algébriques réelles.

Par ailleurs, l’une des méthodes les plus puissantes pour construire des variétés algébriques réelles est la méthode du patchwork de Viro, qui admet notamment une formulation combinatoire. Dans le cas des courbes algébriques réelles, cette version combinatoire permet de contrôler explicitement l’action de la conjugaison réelle et le comportement du quotient, et de démontrer en particulier une version combinatoire de la formule d’orientation complexe de Rokhlin.

Une des directions possibles de la thèse consiste à généraliser ces résultats au cadre des surfaces algébriques réelles obtenues par patchwork combinatoire, et à en déduire de nouvelles contraintes sur leur topologie.

Contact : Ronan Terpereau

Directeur de thèse : Ronan Terpereau

Descriptif du projet de thèse :

Lorsqu'un groupe algébrique $G$ agit régulièrement sur une variété algébrique $X$, on obtient un homomorphisme $G \to \Aut(X)$. Plus généralement, lorsque $G$ agit rationnellement sur $X$, on obtient un homomorphisme $G \to \Bir(X)$, où $\Bir(X)$ est le groupe des transformations birationnelles de $X$. Dans tous les cas, l'image d'un tel homomorphisme est appelée sous-groupe algébrique de $\Bir(X)$. Etudier et classifier les sous-groupes algébriques de $\Bir(X)$, de préférence lorsque ce dernier n'est pas lui-même un groupe algébrique, est une idée assez naturelle pour mieux comprendre le groupe $\Bir(X)$. Le cas où $\Bir(X)$ est ``le plus gros" est lorsque $X$ est une variété rationnelle, auquel cas $\Bir(X)$ est isomorphe au groupe de Cremona classique $\Bir(\P^{n})$ avec $n=\dim(X)$.

Lorsque $n=2$ et que le corps de base $k$ est algébriquement clos, la classification des sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\Bir(\P^2)$, initiée par Enriques dans les années 1890, correspond à la classification des surfaces projectives rationnelles lisses minimales. La classification des sous-groupes algébriques maximaux infinis de $\Bir(\P_\R^2)$ et de leurs sous-groupes de points rationnels, à conjugaison près par une application birationnelle, a été réalisée par Robayo et Zimmermann. Cette classification a ensuite été complétée et étendue par Schneider et Zimmermann au cas d'un corps de base parfait arbitraire.

Lorsque $n=3$ et $k=\C$, une classification des sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\Bir(\P^3)$ a été initiée par Enriques et Fano à la fin des années 1890 et achevée par Umemura dans une série de quatre articles. Plus récemment, Blanc-Fanelli-Terpereau ont donné une nouvelle preuve de la classification des sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\Bir(\P^3)$, valide sur n'importe quel corps $k$ algébriquement clos et de caractéristique zéro. Leur approche n'a pas recours au long travail d'Umemura ni à aucune méthode analytique et se base à la place sur le programme du modèle minimal pour obtenir simultanément les sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\Bir(\P^3)$ et les fibrations de Mori sur lesquelles ils agissent.

Le principal but de ce projet de thèse sera de chercher à étendre la classification des sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\Bir(\P^3)$ au cas où le corps de base est un corps parfait arbitraire (que l'on pourra éventuellement supposer de caractéristique zéro dans un premier temps).

Contact : Antoine Touzé

Directeur de thèse : Antoine Touzé

Descriptif du projet de thèse : 

Une série de résultats démontrés dans les années 1990-2010, par Pirashvili, Suslin, Scorichenko, Vespa et Djament ont montré que l’homologie de la catégorie des modules de type fini sur un anneau R est étroitement reliée à l’homologie de Hochschild topologique THH(R) ainsi qu’à l’homologie des groupes classiques de grand rang à coefficients dans R.

Lorsque R est un corps fini, l’algèbre homologique dans la catégorie des représentations de la catégorie des R-modules projectifs de type fini est bien comprise, à la suite des travaux de Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin (2000). Récemment des avancées significatives ont été obtenues par  Djament et Touzé pour le cas plus général où R est une algèbre sur un corps (Homology of strict polynomial functors over Fp​-linear additive categories, Documenta Mathematica 2025)

Très peu de choses sont comprises lorsque R est un anneau de torsion non première (même pour les anneaux très élémentaires comme R=Z/4Z!). Ce sujet de thèse propose d’explorer l’homologie des catégories dans ce cas.

Contact : Ciprian Tudor

Directeur de thèse : Ciprian Tudor

Descriptif du projet de thèse :

L’objectif de cette thèse est de développer et approfondir le calcul de Stein-Malliavin multidimensionnel pour l’étude de l’indépendance asymptotique entre composantes de vecteurs de variables aléatoires dépendantes. En s’appuyant sur les travaux récents sur la généralisation du calcul de Stein-Malliavin permettant de mesurer la distance de Wasserstein entre la loi conjointe d’un couple  (X,Y) et celle d’un vecteur  (Z,Y), où Z est gaussien et indépendant de Y, on proposera des conditions générales sous lesquelles une convergence jointe vers un couple aléatoire se produit dans des cadres non classiques de processus chaotiques. Cette approche sera appliquée à des estimateurs statistiques issus d’équations aux dérivées stochastiques (SPDE) et à fonctions de variation de processus gaussiens non linéaires, afin d’obtenir des théorèmes limites quantitatifs avec taux de convergence explicites. Enfin, l’étude explorera des extensions possibles à des lois cibles non gaussiennes (ex. lois de Rosenblatt) et des applications en inférence statistique pour des modèles de diffusion et de champs aléatoires, en utilisant des distances métriques fines (e.g. Wasserstein, Kolmogorov) pour quantifier l’indépendance asymptotique.

Bibliographie:

1. I. Nourdin and  G. Peccati  (2012): Normal approximations with Malliavin calculus: from Stein's method to universality (Vol. 192). Cambridge University Press
2. D. Nualart (2006) : Malliavin Calculus and Related Topics. Second Edition. Springer.
3. L. Pimentel  (2022) : Integration by parts and the KPZ two-point function.   Ann. Probab. 50, 1755–1780.
4. C. A. Tudor (2025) : Multidimensional Stein method and quantitative asymptotic independence,  Transactions of the American Mathematical Society 378 (02), 1127-1165
5. C. A. Tudor  and J.  Zurcher  (2025) :  Multidimensional Stein-Malliavin calculus for the multivariate Gaussian distribution.  Electron. J. Probab. 30, Paper No. 119, 28 pp.

Contact : Changgui Zhang

Directeur de thèse : Changgui Zhang

Descriptif du projet de thèse :

Au début des années 1910, Ramanujuan a envoyé dans des courriers à Hardy, depuis l’Inde, des listes de fonctions spéciales qu’il appelait mock-theta. Ces fonctions ont ensuite été examinées par de nombreux mathématiciens, venant de l’Analyse ou la théorie des nombres, tels que G. N. Watson, G. E. Andrews, etc. Tout récemment, elles ont connu un regain d’intérêt en raison de leurs féconds liens avec la théorie conforme des champs et de la K-théorie algébrique. Un exposé notable sur ce sujet a été donné par D. B. Zagier au Séminaire Bourbaki en 2007.

Dans ce domaine, la plupart d’études faites ces vingt dernières années sont concentrées sur le côté algébrique ou modulaire. Pourtant nous pouvons interpréter certaines d’entre elles au moyen des séries dites d’Appell-Lerch, ces dernières étant solutions d’une famille d’équations aux q-différences ayant une singularité non-fuchsienne à l’origine.

L’objectif de cette thèse est d’étudier les fonctions mock-thêta d’ordre 3 de Ramanujan à travers la théorie analytique des équations aux q-différences. En particulier, nous chercherons à déterminer si ces fonctions possèdent un comportement analogue à celui des fonctions thêta classiques au voisinage de chaque racine de l’unité.

D. Hickerson et E. Mortenson, Dyson's ranks and Appell-Lerch sums, Math. Ann. 367 (2017), no. 1-2, 373–395.

G. N. Watson, The final problem: an account of the mock theta functions. J. Lond. Math. Soc. 11, 55–80 (1936)

D. B. Zagier, Ramanujan's mock theta functions and their applications [d'après Zwegers and Bringmann-Ono], Séminaire Bourbaki, 2007-2008, no. 986

C. Z. On the mock-theta behavior of Appell-Lerch series. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 353 (2015), no. 12, 1067–1073.

Contact : Huafeng Zhang

Directeur de thèse : Huafeng Zhang

Descriptif du projet de thèse :

Fixons une algèbre de Lie simple complexe de dimension finie et considérons sa catégorie des représentations de dimension finie. Un résultat classique de Cartan-Weyl affirme que cette catégorie est semi-simple et que ses objets simples sont paramétrés par les « poids dominants entiers ».  Les poids fondamentaux définissent les représentations fondamentales. Ces représentations forment une famille génératrice de la catégorie au sens suivant : toute représentation simple de dimension finie peut être réalisée comme une sous-représentation d’un produit tensoriel de représentations fondamentales.

Parmi les nombreuses généralisations de la théorie des algèbres de Lie simples complexes de dimension finie, deux familles d’algèbres ont une importance particulière en raison de leur élégance et de la variété des applications qui en déroulent : les algèbres de Kac-Moody (analogues de dimension infinie), les groupes quantiques de Drinfeld-Jimbo (déformations de l’algèbre enveloppante). On s’intéresse en particulier aux groupes quantiques associés aux algèbres de Kac-Moody de type affine. Ces algèbres ont une théorie des représentations très riches, interagissant notamment avec la géométrie (symplectique/énumérative), la topologie (homologie et K-théorie de variétés carquois), la combinatoire (bases cristallines, algèbres amassées) et la physique mathématique (systèmes intégrables, branches de Coulomb/Higgs).

La catégorie des représentations de dimension finie d’un groupe quantique affine a été intensivement étudiée ces 40 dernières années. En 1991 Chari-Pressley [1] ont classifié les objets simples de cette catégorie dans l’esprit de Cartan-Weyl par les fractions soumises à une condition de zéro/pôle. Cette classification donne lieu naturellement à la notion de représentations fondamentales qui vérifient la propriété de famille génératrice. Une grande partie de cette théorie se généralise aux groupes quantiques elliptiques grâce aux travaux de Felder-Varchenko, Konno, Gautam-Toledano Laredo, Aganagic-Okounov... Ici, un groupe quantique elliptique est formellement un groupe quantique affine avec le coproduit tordu par une solution elliptique de l’équation de 2-cocycle dynamique.  En passant par une certaine limite, les groupes quantiques elliptiques tendent vers les groupes quantiques affines.

En 2012 Hernandez-Jimbo [2] ont initié l’étude de la catégorie O de représentations de dimension infinie d’un groupe quantique affine (plus précisément, de ses sous-algèbres de Borel). Ils ont paramétré les objets simples par les fractions sans aucune condition de zéro/pôle. De plus, ils ont construit les « représentations pré-fondamentales » qui correspondent aux polynômes. Ces représentations forment également une famille génératrice dans la catégorie O. Elles jouent un rôle crucial dans les travaux de Frenkel-Hernandez sur les spectres de systèmes intégrables quantiques. Elles réapparaissent ensuite dans les travaux de Kamnitzer-Webster-Weekes-Yacobi sur les tranches des grassmanniennes affines, de Braverman-Finkelberg-Nakajima sur les branches de Coulomb, de Varagnolo-Vasserot sur la K-théorie critique de variétés carquois, de Negut sur les algèbres de battage, et de Cao-Okounkov-Zhou-Zhou sur les enveloppes stables critiques.

En vue des diverses interactions avec les autres domaines de mathématiques et physique mathématique, c’est une question importante de construire les représentations pré-fondamentales pour les groupes quantiques elliptiques. Dans un travail en commun avec Felder [3], nous avons défini une catégorie O des représentations de dimension infinie pour les groupes quantiques elliptiques de type A. Ses objets simples sont paramétrés par des fractions de fonctions thêta soumises à nouveau à une condition additionnelle. Pour soulever cette condition indésirée, dans ce projet de thèse nous proposons d’étudier une version dégénérée des groupes quantiques elliptiques, les groupes quantiques dynamiques [4]. Ce sont les groupes quantiques affines avec le coproduit tordu par une solution rationnelle de l’équation de 2-cocycle dynamique, et ils sont intermédiaires entre les cas affine et elliptique. Une des premières questions serait de bien définir la catégorie O des représentations et de classifier ses objets simples par des fractions.

Références :

[1] V. Chari et A. Pressley, Quantum affine algebras, Commun. Math. Phys. 142 (1991) : 261-283.

[2] D. Hernandez et M. Jimbo, Asymptotic representations and Drinfeld rational fractions, Compos. Math. 148 (2012) : 1593-1623.

[3] G. Felder et H. Zhang, Baxter operators and asymptotic representations, Selecta Math. New Ser. 23 (2017) : 2947-2975.

[4]  P. Etingof et A. Varchenko, Exchange dynamical quantum groups, Commun. Math. Phys. 205 (1999) : 19-52.