Yimin XIAO - Collision of Eigenvalues of Random Matrices with Gaussian Random Field Entries

Soit ξ = {ξ(t) : t ∈ Rⁿ₊} un champ aléatoire gaussien centré et {ξᵢⱼ, ηᵢⱼ : i, j ∈ N} une famille de copies indépendantes de ξ. Pour β ∈ {1, 2} et un entier d ≥ 2 fixé, considérons le processus matriciel d × d, Xᵦ = {Xᵦᵢⱼ(t); t ∈ Rⁿ₊, 1 ≤ i, j ≤ d}, avec des entrées données par :

• Xβij​(t)=ξij​(t)+ι1l[β=2]ηij​(t) si  i<j
• Xβij​(t)=2​ξii​(t) si i=j
• Xβij​(t)=ξji​(t)−ι1l[β=2]ηji​(t) si i>j

où ι := √−1 est l'unité imaginaire. Ainsi, pour chaque t ∈ Rⁿ₊, Xᵦ(t) est une matrice réelle symétrique pour β = 1 et une matrice hermitienne complexe pour β = 2.

Jaramillo et Nualart (2020) ont fourni une condition nécessaire et suffisante pour la collision des valeurs propres de Xᵦ. Song et al. (2021) ont étendu leurs résultats au cas où k valeurs propres entrent en collision avec 2 ≤ k ≤ d et ont déterminé la dimension de Hausdorff de l'ensemble des temps de collision. Cependant, dans le cas de la "dimension critique", la question de savoir si les valeurs propres de Xᵦ entrent en collision ou non restait ouverte.

Nous résolvons ce problème en étendant l'argument de couverture de Talagrand. Plus spécifiquement, soit X = {X(t), t ∈ Rⁿ} un champ aléatoire gaussien centré à valeurs dans Rᵈ satisfaisant certaines conditions et soit F ⊂ Rᵈ un ensemble de Borel. Nous fournissons une condition suffisante pour que F soit polaire pour X, c’est-à-dire :

P(X(t)∈F pour un certain t∈Rn∖{0})=0.

Notre nouvelle condition est liée à la dimension de Minkowski supérieure de F et est applicable à une variété d'exemples de champs aléatoires gaussiens, y compris les matrices aléatoires avec des entrées de champ aléatoire gaussien.

Ce travail est principalement basé sur un article conjoint avec Cheuk-Yin Lee, Jian Song, et Wangjun Yuan.