Xavier Roulleau (Université d'Angers) : Arrangements de droites, opérateurs et surfaces elliptiques modulaires

Les arrangements de droites du plan projectif (c’est-à-dire les unions finies de droites du plan) interviennent dans diverses branches de mathématiques : en topologie, en algèbre, en combinatoire…

Beaucoup de questions sont ouvertes ; par exemple on ne sait pas donner la liste complète des arrangements complexes ne possédants pas de points double, ou bien aussi les arrangements réels simpliciaux (i.e. dont les polygones découpés par les droites ne sont que des triangles). 

Dans l’espoir de créer de nouveaux arrangements ayant des propriétés intéressantes, on a introduit des opérateurs agissants sur l’ensemble des arrangements de droites du plan. 

Dans cet exposé je donnerai des exemples d’espaces de modules d’arrangements de droites du plan préservés par certains opérateurs. 

Nous verrons en particulier que la surface elliptique $\Xi_1(n)$ au-dessus de la courbe elliptique modulaire $X_1(n)$ (paramétrant les courbes elliptiques munies d’un point de torsion d’ordre $n>3$) peut-être aussi vue comme (la compactification de) l'espace de modules de certains arrangements de droites. 

Nous verrons qu’il existe un opérateur agissant sur ces arrangements et donc sur la surface elliptique $\Xi_1(n)$, et quelle est cette action sur la surface.

En passant, on revisitera le théorème classique de Pascal sur les hexagones en termes d’opérateurs et on en donnera une sorte d’analogue « six fois » en un sens qui sera précisé. 

Travail en partie en collaboration avec Lukas Kühne (Bielefeld).