Valeurs spéciales de fonctions L d'Artin en s=0 (Adrien Morin, U. Copenhagen)

Les fonctions L d'Artin sont des fonctions L associées à des représentations de dimension finie du groupe de Galois absolu d'un corps global. Parmi elles, on trouve les fonction zeta de Dedekind, dont le comportement autour du point s=0 est décrit par la très classique formule analytique du nombre de classe, qui donne une expression pour le premier coefficient non-nul dans le développement de Taylor ; cette dernière quantité est appelée valeur spéciale. Des conjectures générales ont été formulées pour décrire les valeurs spéciales aux points entiers des fonctions L, le plus souvent en utilisant de manière cruciale la théorie de Hodge p-adique. Dans cet exposé, je présenterai une approche alternative basée sur la cohomologie Weil-étale développée par Lichtenbaum, Geisser et Flach-Morin. Le premier résultat que j'exposerai donne une formule cohomologique pour les valeurs spéciales de fonctions L d'Artin de représentations rationnelles. Je me restreindrai ensuite à la caractéristique p, où je présenterai une formule générale conjecturale applicable aussi dans des analogues de dimension supérieure (où le corps global de caractéristique p est remplacé par une extension de type fini de celui-ci), et que je prouve être vraie pour les fonctions L d'Artin classiques et pour les fonctions L d'Artin de "motifs d'Artin à bonne réduction" en dimension supérieure. Ici, on ne se restreint plus aux représentations rationnelles, et en fait on peut même formuler et prouver un analogue de la conjecture de Tamagawa non commutative de Burns-Flach dans ce contexte. Si le temps le permet, je reviendrai au cas d'un corps de nombres où j'émettrais quelques spéculations sur le type de résultat que l'on pourrait obtenir par les méthodes Weil-étale.