Une attaque de la Conjecture de Lehmer par la fonction zeta dynamique du beta-shift — Jean-Louis Verger-Gaugry (Université Savoie Mont Blanc)

En 1933 D. Lehmer posa la question de l’existence de polynômes ∈ Z[X] ayant une mesure de Mahler > 1, plus petite que le nombre de Lehmer 1.17... (et de valeur arbitrairement proche de 1). Sa stratégie était de construire de très grands nombres premiers à partir de tels polynômes, d’autant plus grands que la mesure de Mahler des polynômes est petite, et telle que > 1. Le Problème de Lehmer, qui est un problème de minoration de la mesure de Mahler, est devenu la Conjecture de Lehmer ; celle-ci stipule qu’il existe une borne inférieure universelle > 1 pour toute mesure de Mahler d’entiers algébriques non nuls qui ne sont pas racines de l’unité. On rappellera les différents cas connus de nombres algébriques pour lesquels la Conjecture est vraie.

Le présent travail propose une attaque de la Conjecture de Lehmer par la fonction zêta dynamique du beta-shift (de la beta-transformation) pour démontrer que cette Conjecture est vraie, pour tous les autres cas non connus, et montrer les différents ingrédients qui amènent à cette conclusion : en particulier l’existence de pôles lenticulaires dans un secteur angulaire deviné par M. Langevin (’85, ’86, ’88), G. Rhin et C. Smyth (’95), puis G. Rhin et Q. Wu, qui, identifiés à des conjugués de Galois par un théorème de représentation de Kala-Vavra (2019), donnent lieu à une inégalité de type Dobrowolski.