Formes normales et exposants de Lyapunov des endomorphismes des espaces projectifs complexes (Virgile Tapiero - Institute for Mathematics and Fundamental Physics at Hefei (IMFP))

Version Française :

Titre : Formes normales et exposants de Lyapunov des endomorphismes des espaces projectifs complexes

Résumé : J'exposerai un panorama sur la recherche concernant les exposants de Lyapunov associés à la mesure d'entropie maximale μ d'un endomorphisme f défini sur un espace projectif complexe P^k, k > 1.
Un résultat fondamental de J.-Y. Briend et J. Duval (1999) stipule que les exposants de Lyapunov L_1, ..., L_k de cette mesure μ sont toujours minorés par log(d)/2, où d > 1 est le degré de f.

Un autre résultat fondamental est le fait que la minimalité de tous les exposants L_1 = ... = L_k = log(d)/2 est équivalente à dire que μ << mesure de Lebesgue.
Ce résultat a été démontré par plusieurs auteurs, notamment F. Ledrappier et A. Zdunik pour k = 1 (années 80), et F. Berteloot, C. Dupont, et J.-J. Loeb pour k > 1 (années 2000).

La généralisation de ce résultat en supposant que seulement certains exposants sont minimaux, mais pas tous, a été étudiée par la suite. Notamment, R. Dujardin a montré (2012) que si μ << Trace(T),
où T est le courant de Green de f, alors chaque exposant L_i = log(d)/2 est minimal, sauf peut-être le plus grand. R. Dujardin a également posé la question de la réciproque de ce résultat.

Je présenterai mes travaux sur les exposants de Lyapunov et, notamment, un nouveau théorème (2025) que j'ai obtenu, répondant positivement à la question de R. Dujardin.
Plus précisément, le théorème stipule que si les k-r plus petits exposants sont minimaux (et les autres ne le sont pas), alors μ << Trace(T^r), la réponse à la question de R. Dujardin découlant du cas r = 1.
Les techniques reposent sur la théorie du pluripotentiel, la théorie ergodique, et l'utilisation de formes normales pour la dynamique.

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Version Anglaise

Title: Normal forms and Lyapunov exponents of endomorphisms of complex projective spaces

Abstract: I will provide an overview of the research on the Lyapunov exponents of the measure of maximal entropy μ of an endomorphism f of a complex projective space P^k, k > 1.
A fundamental result by J.-Y. Briend and J. Duval (1999) states that the Lyapunov exponents L_1, ..., L_k of this measure μ are always bounded below by log(d)/2, where d > 1 is the degree of f.

Another fundamental result is that the minimality of all the exponents L_1 = ... = L_k = log(d)/2 is equivalent to μ << Lebesgue measure.
This was proven by several authors, including F. Ledrappier and A. Zdunik for k = 1 (1980s), and F. Berteloot, C. Dupont, and J.-J. Loeb for k > 1 (2000s).

The generalization of this result, where only some exponents are minimal but not all, was explored later. In particular, R. Dujardin (2012) showed that if μ << Trace(T),
where T is the Green current of f, then each exponent L_i = log(d)/2 is minimal, except possibly the largest one. R. Dujardin also raised the question of the converse of this result.

I will present my own work on Lyapunov exponents, focusing on a new theorem (2025) that I have obtained, which provides a positive answer to R. Dujardin's question.
The theorem states that if the k-r smallest exponents are minimal (and the others are not), then μ << Trace(T^r), with the answer to R. Dujardin's question following from the case r = 1.
The techniques used are based on pluripotential theory, ergodic theory, and the use of normal forms for the dynamics.