Un théorème de Liouville pour une équation de Monge--Ampère réelle à membre droite borné (Tran Trung Nghiem - Université Lyon 1)

La classification des métriques de Calabi--Yau sur les espaces symétriques, même à grande isométrie, demeure encore un défi malgré des avancées majeures depuis les 30 dernières années. D'une part, les travaux de Cheeger--Colding nous disent que les métriques sont asymptotiquement coniques; d'autre part, la théorie de Donaldson--Sun nous fournit tous les modèles asymptotiques par de la géométrie algébrique. Cependant, construire les métriques asymptotiques à ces cônes reste encore inachevé, partiellement dû à une compréhension insuffisante du comportement du potentiel symplectique de Calabi--Yau près des singularités du cône asymptotique. Le but de mon exposé sera d'expliquer un théorème de Liouville pour une classe d'équations de Monge--Ampère réelles à membre droite borné; ce qui constitue une première étape vers cette construction. Il s'agit d'un travail en commun avec Rolf Andreasson et Jakob Hultgren.

English translation: The classification of Calabi--Yau metrics on complex symmetric spaces is still unsolved, even with large isometry. On one hand, works of Cheeger--
Colding tell us that such metrics must be asymptotically conical; and on the
other hand, Donaldson--Sun theory provides us all possible asymptotic models
by algebraic geometry.
However, to construct Calabi--Yau metrics asymptotic to these cones remains a
challenge, partially due to an insufficient understanding of the behavior of
the Calabi--Yau symplectic potential near singularities of the asymptotic
cone. The goal of this talk is to explain a Liouville theorem for a class of
real Monge--Ampère equations with unbounded right-hand side; which is a
preliminary step to overcome the obstacle. This is a joint work with Jakob
Hultgren and Rolf Andreasson.