Introduction à la méthode de Stein-Malliavin (Jérémy Zurcher)

La méthode de Stein-Malliavin est une combinaison de deux champs des probabilités : le calcul de Malliavin (du français Paul Malliavin, 1925-2010) et la méthode de Stein (Charles Stein, 1920-2016). Alors que le premier est un domaine d'analyse stochastique, le deuxième réunit un ensemble de techniques permettant d'estimer une distance entre deux lois de probabilités en vertu de propriétés fonctionnelles. La combinaison des deux permet en fait d'obtenir relativement directement des estimations entre deux lois de probas, notamment entre une loi quelconque et une loi normale, que cela soit pour des variables aléatoires réelles, ou des vecteurs aléatoires. Un théorème à la base de cette artillerie lourde est le théorème du quatrième moment, qui, pour une certaine classe de variables aléatoires, donne une condition nécessaire et suffisante (très simple) de convergence en loi d'une suite de variables aléatoires vers une loi normale : il s'agit uniquement d'observer la convergence du quatrième moment de la suite de variables aléatoires. Le but de l'exposé est alors d'énoncer clairement ce théorème, en définissant les objets provenant du calcul de Malliavin et de la méthode de Stein, d'essayer de comprendre pourquoi il est vrai et pourquoi il s'agit en fait d'un équivalent d'arme atomique pour prouver des théorèmes centraux limites.