Autour de l'inégalité de von Neumann. De la théorie spectrale des opérateurs à la géométrie hyperbolique du disque unité (Axel Renard)

Résumé : La théorie spectrale est une théorie étendant à des opérateurs définis sur des espaces fonctionnels généraux (par exemple, des espaces de Hilbert) la théorie élémentaire des valeurs propres et des vecteurs propres de matrices. Plus précisément, si X est un espace de Banach et T un opérateur borné sur X, on définit le spectre de T comme l’ensemble des scalaires $\lambda$ tels que $T - \lambda Id$ ne soit pas inversible. Après une (très) brève introduction à cette théorie, nous nous intéresserons à l’inégalité de von Neumann (qui, étant donnés un opérateur borné T sur un espace de Hilbert et un polynôme p, permet d’obtenir une estimation de la norme de p(T)), dont nous verrons ensuite une application en analyse complexe et en géométrie hyperbolique.

Abstract: Spectral theory is a theory extending to operators defined on general functional spaces (e.g. Hilbert spaces) the elementary theory of eigenvalues and eigenvectors of matrices. More precisely, if X is a Banach space and T a bounded operator on X, we define the spectrum of T as the set of scalars $T - \lambda Id$ such that $T - \lambda Id$ is not invertible. After a (very) brief introduction to this theory, we will look at the von Neumann inequality (which, given a bounded operator T on a Hilbert space and a polynomial p, allows us to obtain an estimate of the norm of p(T)), and we will then see an application of this in complex analysis and hyperbolic geometry.