Géométrie des nombres (Antoine Boivin)

Résumé : La géométrie des nombres est une branche de l'arithmétique, fondée à la fin du XIXème siècle par Hermann Minkovski, dans laquelle on interprète les énoncés en termes de réseaux pour utiliser leurs propriétés géométriques. Le point de départ est le théorème dû à Minkovski énonçant qu'un convexe de R^n (symétrique par rapport à l'origine) "suffisamment volumineux" contient au moins un point entier (qui ne soit pas l'origine). Dans cet exposé, nous allons donner un énoncé précis de ce théorème et nous verrons comment l'appliquer à différents problèmes arithmétiques : l'approximation diophantienne simultanée, l'écriture d'entier comme sommes de 4 carrés et, si le temps le permet, l'étude des classes d'idéaux d'un corps de nombres.