Que signifie "être de Hopf" dans un cadre non-associatif? Les monades de Hopf "relâchées" (Alain Bruguières)

Orateur :  Alain Bruguières

Lieu : salle des Séminaires M3

Résumé : 

La théorie des monades de Hopf fournit un cadre général pour unifier la notion d'algèbre de Hopf et plusieurs de ses variantes, ainsi que bon nombre de résultats fondamentaux sur ces objets. Toutefois, elle n'inclut pas un volet important de la théorie de Hopf, à savoir les algèbres quasi-Hopf de Drinfeld. J'expliquerai quels sont les obstacles à cela, le plus fondamental étant l'absence dans la littérature d'une bonne caractérisation catégorique de la propriété d'être Hopf pour une quasi-bigèbre. Je présenterai une version particulièrement lâche de la notion de Hopf (slack Hopf) qui fonctionne dans le cadre des catégories magma et des monades colax-magmatiques et s'interprète naturellement comme une forme de préservation/création des foncteurs Homs internes. Cette notion mène à une théorie des monades de Hopf "relâchées" (slack Hopf monads) qui conserve un certain nombre de résultats de base de la théorie des monades de Hopf. Les résultats obtenus s'appliquent aux algèbres magmatiques (c.-à -d. dotées d'un coproduit arbitraire) et en particulier aux quasi-bigèbres. Cela mène notamment à une caractérisation catégorique des algèbres quasi-Hopf sur un corps. Je comparerai brièvement les notions "Hopf" et "slack Hopf" et indiquerai les questions qui restent ouvertes.

Cet exposé est issu d'un travail en commun avec Mariana Haim et Ignacio Lopez-Franco : https://arxiv.org/abs/2303.09670