Tanguy Vernet (Institute of Science and Technology Austria) : Variétés carquois avec multiplicités

Les variétés carquois de Nakajima sont des variétés algébriques lisses et symplectiques associées à un graphe fini orienté (appelé carquois) et introduites dans les années 90. Ces variétés jouent un rôle important, à la fois dans l'étude de certains espaces de modules en géométrie algébrique et en théorie des représentations des algèbres de Kac-Moody. Elles généralisent des variétés symplectiques bien connues, comme les résolutions de singularités kleiniennes ou certains espaces de modules d'instantons sur le plan projectif. En général, les variétés carquois paramètrent les représentations stables (au sens de King) du carquois sur un corps de base. Plus récemment, plusieurs travaux (Yamakawa, Geiss-Leclerc-Schröer, Hausel-Wong-Wyss) ont mis en avant des représentations de carquois sur des anneaux de séries formelles tronquées et construit des exemples de variétés carquois dans ce cadre. Ces nouvelles variétés carquois sont liées, d'une part, aux espaces de modules de connexions méromorphes irrégulières sur les courbes algébriques et présentent, d'autre part, des applications en théorie des représentations.

Dans cet exposé, je présenterai un travail en commun avec Victoria Hoskins et Joshua Jackson, où nous construisons des variétés carquois avec multiplicités, c'est-à-dire paramétrant des représentations de carquois sur des anneaux de séries formelles, pour un carquois quelconque. Cette construction repose sur des outils de théorie géométrique des invariants pour les groupes non-réductifs, développés récemment par Hamilton-Hoskins-Jackson. En particulier, nous généralisons les conditions de stabilité de King aux carquois avec multiplicités. Si le temps le permet, je présenterai un résultat supplémentaire, où nous montrons que la cohomologie de certaines variétés carquois porte sur une structure de Hodge pure, comme c'est le cas pour les variétés carquois de Nakajima.