Structures monoïdales itérées à homotopie près (Sophie d'Espalungue)

Les structures monoïdales interviennent dans toute structure algébrique : un monoïde est un ensemble E, muni d’une loi de composition . : E x E —> E et d’un élément neutre e dans E, vérifiant x . e = e . x = x pour tout x dans E. Par exemple, les entiers munis de la multiplication est un monoïde de neutre 1. La multiplication des entiers est dite associative : multiplier d’abord deux nombres ensemble, puis multiplier le résultat avec un autre nombre revient à multiplier le premier nombre avec le résultat de la multiplication des deux autres. On peut généraliser ces constructions à des objets plus complexes que des ensembles.
Ces structures peuvent être itérées : étant donné un monoïde M = (E, ., e), on peut s’intéresser à la question suivante : qu’est ce qu’une autre structure monoïdale sur M, qui respecte la structure de monoïde déjà présente sur M ? Il s’agit d’une autre loi de composition, disons o : E x E —> E, de même élément neutre e. La compatibilité avec la première loi . s’exprime de la manière suivante : on doit avoir pour tous éléments x_1, x_2, x_3, x_4 de E, l’égalité (x_1 . x_2) o (x_3 . x_4)=(x_1 o x_3) . (x_2 o x_4). Appelons cela un monoïde deux fois itéré. En fait, la théorie des monoides itérés s’effondre ici : on peut montrer facilement que si un ensemble possède 2 telles lois de compositions, alors pour tous x,y on a x . y = x o y. C’est l’argument d’Eckmann-Hilton. Pourtant, ces structures interviennent souvent en maths, sous une forme « relâchée » : au lieu d’avoir une associativité stricte sur un ensemble, on peut s’abstraire de la notion d’égalité et demander simplement l’existence d’une manière de relier (x.y).z à x.(y.z), dite homotopie (ou chemin). Cela pose des problèmes de cohérence à des ordres supérieurs : si ensuite il existe deux manières (ou homotopies) différentes de relier deux expressions algébriques, on demande à ce qu’il existe également une manière de relier ces homotopies, et ainsi de suite.

La théorie des opérades a été construite pour trouver des modèles algébriques de telles structures « à homotopie près » (résolution), en considérant des compositions formelles d’opérations munies d’une arité (par exemple, l’opération (x,y,z) -> x + y + z est d'arité 3), et a ainsi permis de trouver un modèle des structures associatives à homotopie près, dites A_\infty. Le but de ma thèse est de trouver un modèle algébrique des structures monoïdales deux fois itérées à homotopie près. Pour construire cette résolution, j’ai construit un nouveau type d’objets inspiré des opérades, qui cette fois possède des arités indicées par des couples d’entiers (n,m) et permettent ainsi d’avoir un contrôle sur la manière dont les opérations . et o se mêlent.