Simon GENTIL (SPHERE, Paris) : Étudier généralement les courbes à l'âge classique

Il est bien connu que la Géométrie de Descartes (1637), en particulier sa seconde édition latine (en deux volumes) augmentée de nombreux commentaires (1659-1661), engage un programme de recherche d'étude des courbes en général. La généralité des propositions cartésiennes est toutefois limitée de plusieurs manières, qui incitent ses successeurs à ne pas seulement réaliser son programme de recherche mais à l'étendre au delà des ambitions de son auteur. La première partie de notre présentation sera consacrée à ces limites et aux attitudes adoptées par ses contemporains et successeurs pour les surmonter. La plus connue de ces limites est la restriction aux courbes que Descartes nomme géométriques (on dirait aujourd'hui algébriques) mais sa méthode est également limitée par la nécessité de s'appliquer à une courbe particulière. C'est sur ce deuxième aspect, moins commenté dans l'historiographie, que nous nous focaliserons dans la seconde partie en présentant la méthode exposée par De Gua dans son Usages de l'analyse de Descartes (1740) et la manière dont on peut la voir à l’œuvre dans les manuscrits de Newton relatifs à son énumération des cubiques. Nous verrons que l'approche de Descartes, loin de permettre une étude générale des courbes géométriques, autorise la considération de nouveaux types d'objets dont les propriétés sont radicalement différentes des objets traditionnels et dont l'étude n'est pas si immédiate que l'auteur de la Géométrie semble le suggérer.