Rigidité spectrale des billards hyperboliques (travail en collaboration avec A. Florio (IMJ-PRG)) (orateur: Martin Leguil - Université de Picardie Jules Verne)

Dans un projet avec P. Bálint, J. De Simoi, et V. Kaloshin, nous
avons étudié le problème inverse pour une classe de billards dispersifs
ouverts satisfaisant une condition de non-éclipse. La dynamique de ces
billards est de type Axiom A et peut être codée symboliquement de manière
naturelle, ce qui permet de définir un spectre marqué des longueurs (longueurs
des orbites périodiques + codage). Nous montrons que ce spectre dynamique
permet de reconstruire beaucoup d’information sur la géométrie de la table de
billard ; en particulier, dans le cas où le bord est analytique, et lorsque la
table possède certaines symétries, nous montrons que de manière générique, il
est possible déterminer la géométrie du billard à partir de son spectre marqué
des longueurs.
Dans un travail récent en collaboration avec A. Florio, nous avons poursuivi
cette étude dans le cas de billards hyperboliques dont le bord est seulement
C^k. Nous montrons que ces billards sont spectralement rigides, au sens où
deux billards isospectraux ont la même géométrie aux points de la table
provenant de l’ensemble de Cantor des trajectoires piégées. En particulier,
cela implique la rigidité spectrale des billards de ce type dont le bord est
(quasi-)analytique. Ce résultat de rigidité spectrale découle d’un résultat
dynamique plus général sur les classes de conjugaison lisse de flots de
contact de type Axiom A en dimension trois, qui généralise un résultat
précédent (dans le cas Anosov) de J. Feldman et D. Ornstein. Les méthodes que
nous employons sont inspirées en partie par le travail de J.-P. Otal sur la
rigidité spectrale pour les flots géodésiques des surfaces de courbure
négative.