Régularité de la métrique de Poincaré d'un feuilletage holomorphe (François Bacher - Université de Lille)

Pour étudier la dynamique globale d'un champ de vecteurs holomorphe, il
est souvent utile de ne considérer que la statique du feuilletage
associé. Un feuilletage holomorphe sur une variété complexe $M$ est la
donnée d'une partition de $M$ par des trajectoires de flots de champs de
vecteurs locaux. En tant que surfaces de Riemann immergées, les feuilles
sont uniformisées par le disque hyperbolique, le plan complexe ou la
sphère de Riemann. Dans le cas où toutes les feuilles sont
hyperboliques, $M$ est munie de la métrique de Poincaré sur les
feuilles. On retrouve alors une forme de dynamique canonique sur les
feuilles en considérant un temps hyperbolique. Dans le cas général,
cette métrique n'est a priori que semie-continue. Dinh, Nguyên et Sibony
ont démontré en 2014 que si la variété $M$ est compacte et le
feuilletage non singulier, la métrique de Poincaré est hölderienne. Ce
résultat ouvre la voie à démontrer que l'entropie du feuilletage est
finie. Dans cet exposé, nous présenterons plus précisément leur résultat
et la technique de leur preuve. Nous montrerons ensuite comment cette
technique peut être utilisée pour démontrer des résultats analogues dans
le cas de singularités non-dégénérées.