Réduction hamiltonienne et tranches de Slodowy (Thibault Juillard, Univ. Paris-Saclay)

Les algèbres de Lie sont des espaces de matrices carrées qui jouent un rôle important en algèbre, en géométrie et en physique mathématique. Parmi elles, les algèbres de Lie semi-simples ont des propriétés particulièrement remarquables. Dans cet exposé nous verrons qu’une telle algèbre de Lie possède une géométrie riche. Elle est en effet munie de l’action de son groupe de Lie adjoint et d’une structure de Poisson canonique, les deux étant liées par le fait que les orbites de l’action forment un feuillage symplectique. Nous nous intéresserons en particulier aux éléments nilpotents de l'algèbre de Lie semi-simple. Nous verrons que chacun de ses éléments vit dans un triplet d'éléments remarquables, auquel on peut associer un sous-espace affine, appelé tranche de Slodowy. Cette tranche est transverse aux orbites, elle porte donc une structure de sous-variété de Poisson. Nous finirons alors sur un résultat célèbre de Kostant : les tranches de Slodowy sont la réduction hamiltonienne de l'algèbre de Lie modulo l'action d'un sous-groupe de Lie unipotent. Ces résultats ont été étudiés dans le cadre de mon projet de Master à l'EPFL, sous la direction d’Anna Lachowska et Anton Alekseev.