Raf Cluckers (Université de Lille) : La question de Serre sur les ensembles minces projectifs

Avec Buggenhout, Santens et Vermeulen, nous répondons à une question posée par Serre dans les années '80 qui concerne le nombre de points rationnels de hauteur bornée des ensembles minces projectifs de degré au moins 4. Pour les degrés 2 et 3, nous améliorons les bornes générales connues. Le coeur de notre travail repose sur l'étude spécifique des bornes pour les ensembles minces de type II, qui correspondent aux images de revêtements dominants, quasi-finis et ramifiés de l'espace projectif.  Les bornes pour les ensembles minces de type I ont en effet déjà été établies dans les travaux de Salberger. Pour ce faire, nous adaptons la méthode du déterminant au cadre des polynômes pondérés et exploitons un résultat récemment obtenu par Binyamini-Cluckers-Novikov explicitant une dépendance, quadratique en le degré de la courbe, dans l'estimation du nombre de points rationnels des courbes irréductibles. Tout ceci marche pour tout les corps globaux mais nous le présenterons pour le corps des nombres rationnel.