Quelques modèles cellulaires W-équivariants en théorie de Lie (Arthur Garnier)

Séminaire « Topologie »
M3 - Salle des Séminaires
Orateur : Arthur Garnier Lieu : salle des Séminaires M3 Résumé : Dans cet exposé, je présenterai mes travaux de thèse portant sur la topologie algébrique équivariante des tores maximaux et des variétés de drapeaux des groupes de Lie, munis de l'action du groupe de Weyl W. Plus précisément, le but est d'exhiber des décompositions cellulaires W-équivariantes de ces espaces, afin de comprendre leurs sections globales dans la catégorie dérivée des Z[W]-modules. Je commencerai par détailler le cas des tores maximaux, en construisant une triangulation W-équivariante générale dépendant du réseau des caractères. Ensuite, j'expliquerai comment on peut étendre la notion de "tore" aux groupes de Coxeter non cristallographiques. Spécifiquement, à un tel groupe W on peut associer une variété hyperbolique W-triangulée T(W), qui joue le rôle de tore pour W. La construction de T(W) est analogue à la construction des vrais tores, à ceci près qu'elle fait appel à des extensions hyperboliques plutôt qu'affines. Je donnerai quelques propriétés de T(W), rappelant celles des tores usuels. Ensuite, après un bref rappel sur les variétés de drapeaux, je me concentrerai sur le premier exemple non-trivial de la variété réelle F(R):=SL_3(R)/B. Plus précisément, je présenterai trois décompositions cellulaires S_3-équivariantes de F(R). La première utilise le graphe de GKM de S_3 et, bien qu'obtenue de manière ad hoc, cette structure fournit une description équivariante de l'algèbre de cohomologie mod 2 de F(R), en terme de cycles algébriques transverses. La deuxième décomposition est obtenue en utilisant le fait que le revêtement universel de F(R) est la 3-sphère, i.e. F(R) est une "spherical space form". Enfin, la troisième décomposition dérive d'un domaine fondamental de Dirichlet-Voronoï pour S_3 agissant sur F(R), lui-même construit à partir d'une métrique normale homogène sur F(R). Une telle métrique existe sur les autres variétés de drapeaux et cette approche semble généralisable aux cas (réels) supérieurs. Je terminerai en donnant quelques résultats préliminaires dans ce sens.

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