Pour quoi la réciprocité quadratique ? (Christopher-Lloyd Simon)

L'exposé concernera les équations quadratiques ax^2+bx+c = 0 modulo p.
Par exemple combien y a-t'il de solutions à l'équation x^2 + c = 0 modulo p ?
Autrement dit à quoi ressemble le graphe de l'application x --> x^2 modulo p ? L'objectif de l'exposé sera de montrer comment on peut être mené à formuler la loi de réciprocité quadratique. Il ne s'agira pas de prouver la loi de réciprocité quadratique mais simplement de la motiver à travers la résolution d'équations quadratiques. Motivations culturelles : Voici quelques motivations historiques, indiquant pourquoi la loi de réciprocité quadratique est considérée comme l'un des plus grands monuments de l'arithmétique. Sa genèse traverse l'histoire des mathématiques. Diophante l'utilise implicitement pour un calcul de congruences modulo 15, puis 2000 ans plus tard Fermat découvre des listes de congruences similaires pour les nombres premiers de la forme p = x^2+Ny^2. La loi est formulée par Euler et Legendre sans qu'ils parviennent à en donner une preuve complète. Gauss la baptise theorema aureum dans ses Disquisitiones Arithmeticae, et il n'en a donne pas moins de 8 preuves essentiellement distinctes. C'est un modèle pour les développements arithmétiques des siècles suivants. Hilbert lui consacre le neuvième problème de sa fameuse liste, qui en demande une généralisation aux extensions abéliennes de Q. C'est Artin a résolu ce problème, et sa loi est au coeur de la théorie du corps de classe. Elle reste une source d'inspiration pour l'exloration des extensions non abéliennes de Q, qui forment une partie du programme de Langlands, un domaine de recherche très actif.