Pierre Portal (The Australian National University) : Espaces de fonctions pour les EDP déterministes et stochastiques

Vu de loin, les questions fondamentales de l’analyse des EDP consistent à estimer l’action d’opérateurs (linéaires ou non) agissant sur des espaces de fonctions. On a une grande liberté dans le choix de ces espaces, mais ce choix a un impact majeur sur la qualité des résultats. On peut par exemple se fixer un espace de solutions et déterminer quel espace de données lui correspond, ou, à l’inverse, partir d’espaces de données et construire des espaces de solutions adéquats. Les deux approches ne sont pas équivalentes, ni techniquement ni philosophiquement. On peut aussi utiliser des espaces qui respectent les invariances de l’équation elle même, ou en choisir qui respectent des invariances plus simples (e.g. les espaces Lp et leur mesure invariante par translation) et travailler par perturbation. Quand le problème est stochastique, ces choix demandent de respecter tant la dynamique déterministe que les propriétés probabilistes des processus. Dans cet exposé, nous discuterons de ces choix et de leur implémentation. Pour ce faire nous papillonnerons entre différents domaines : la physique mathématique et ses correspondances classique/quantique, les EDP et leurs propriétés de diffusion ou de dispersion, le calcul stochastique et l’importance qu’il donne aux trajectoires rugueuses, et, bien sur, l’analyse harmonique et fonctionnelle qui ne cessent d’illuminer ces problèmes en les ramenant à leur essence.