Limite hydrodynamique d'équations cinétiques conservatives par une approche spectrale (Pierre Gervais)

[English version below]

Résumé : Parmi les 23 problèmes listés par D. Hilbert durant le Congrès
International des Mathématiciens en 1900, le 6ème concerne la dérivation
de descriptions macroscopiques des fluides à partir de leurs
descriptions microscopique. Une des stratégies possibles consiste à
passer par un niveau de description intermédiaire qualifié de
mésoscopique, ou cinétique, tels que les modèles de Boltzmann ou Landau.
On parle de problème de limites hydrodynamiques.


Au début des années 1990, C. Bardos, F. Golse et D. Levermore prouvèrent
que l'on pouvait dériver formellement les équations de Navier-Stokes à
partir d'équations cinétiques conservant la masse, vitesse et énergie,
et dissipant l'entropie, et les cas spécifiques des équations de
Boltzmann et Landau furent progressivement et indépendamment traités
durant les trois décennies suivantes, malgré leur structure commune.

Les travaux de limites hydrodynamiques sont en partie limités par des
outils remontant aux débuts de la théorie de Boltzmann dans les années
1960, permettant seulement de considérer des solutions satisfaisant une
hypothèse très contraignante d'intégrabilité, mais aussi par des
résultats établis à l'aide d'arguments non-constructifs. Dans le cas
des théories de Cauchy d'équations cinétiques, ces restrictions ont été
levées grâce aux outils modernes de "théorie d'élargissement" et
d'hypocoercivité développés à partir des années 2000, notamment par C.
Mouhot, S. Mischler et M. Gualdani.

Dans cet exposé, je présente un travail en collaboration avec Bertrand
Lods dans lequel nous avons, d'une part, considéré la question de limite
hydrodynamique pour une équation cinétique sous des hypothèses
génériques proches de celles de Bardos-Golse-Levermore, unifiant ainsi
les résultats antérieurs, d'autre part, modernisé l'étude spectrale
nécessaire grâce aux nouvelles théories d'élargissement et
d'hypocoercivité, fournissant ainsi les premiers résultats de limites
hydrodynamiques entièrement quantitatif.

[English]

Hydrodynamic limit of conservative kinetic equations by a spectral approach

Abstract: Among the 23 problems listed by D. Hilbert during the International
Congress of Mathematicians in 1900, the 6th one concerns the derivation
of macroscopic descriptions of fluids from their microscopic
descriptions. One possible strategy involves going through an
intermediate level of description called mesoscopic, or kinetic, such as
the Boltzmann or Landau models. This is referred to as the problem of
hydrodynamic limits.

In the early 1990s, C. Bardos, F. Golse, and D. Levermore proved that
one could formally derive the Navier-Stokes equations from kinetic
equations conserving mass, velocity, and energy, and dissipating
entropy, and the specific cases of the Boltzmann and Landau equations
were gradually and independently addressed over the following three
decades, despite their common structure.

The work on hydrodynamic limits is partly constrained by tools dating
back to the early days of Boltzmann theory in the 1960s, allowing only
for solutions satisfying a very restrictive integrability assumption,
but also by results established using non-constructive arguments. In
the case of Cauchy theories of kinetic equations, these restrictions
have been lifted thanks to modern tools of "enlargement theory" and
hypocoercivity methods developed from the 2000s onwards, notably by C.
Mouhot, S. Mischler, and M. Gualdani.

In this talk, I present a collaboration with Bertrand Lods in which we
have, on the one hand, considered the question of hydrodynamic limit for
a kinetic equation under generic assumptions close to those of
Bardos-Golse-Levermore, thus unifying previous results, and, on the
other hand, modernized the necessary spectral study using the new
theories of enlargement and hypocoercivity, thus providing the first
fully quantitative results of hydrodynamic limits.