Analogues quantiques des nombres rationnels (Perrine Jouteur)

Les q-analogues de nombres sont issus d'une déformation des nombres
entiers qui consiste à introduire une variable formelle "q", en
remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu'on retrouve
le nombre initial en faisant tendre q vers 1. Cette idée sous-tend par
exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour
aborder des problèmes combinatoires. Depuis le XVIIIème siècle, les
q-nombres ont fait leur apparition dans de nombreuses branches des
mathématiques, des formes modulaires aux groupes quantiques, en passant
par l'analyse des séries hypergéométriques.
Malgré ces succès, il a fallu attendre les années 2020 pour avoir une
bonne déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière
satisfaisante les propriétés combinatoires des q-nombres. On verra
comment définir ces q-rationnels, en donnant trois points de vue
équivalent sur cette construction, via une action du groupe modulaire,
via des fractions continues et via le pavage de Farey. Ensuite, on
donnera des interprétations combinatoires de ces q-rationnels, par
analogie avec les modèles combinatoires décrit par les q-nombres
entiers.