Obstruction d'homotopie étale et applications — David Corwin (Université Ben Gourion du Néguev)

Le principe de Hasse dit pour une variété à laquelle il s'applique qu'elle possède un point sur un corps de nombres K si et seulement si elle possède un point sur tous les completés de K. Le principe s'applique toujours pour une hypersurface quadratique, mais n'est plus vrai en degré 3 et plus. Comme le principe s'applique trivialement dans le cas où la variété possède un K-point, il faut savoir prouver la non-existence de points sur K pour démontrer un contre-exemple. Les premiers contre-exemples se déduisaient de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement l'obstruction de Brauer-Manin, elle-même basée sur la théorie des corps de classe a été utilisée avec succès dans encore plus de cas.

Après quelques autres obstructions, Harpaz et Schlank ont construit l'obstruction homotopie étale, qui avait l'air d'être l'ultime. Mais pour des raisons de dimension cohomologique des corps de nombres, l'obstruction ne voit que le pi_1 et pi_2 du type d'homotopie et est enfin équivalente à l'obstruction Brauer-étale de Skorobogatov. Cependant, on a pu utiliser le point de vue homotopie étale pour démontrer certaines propriétés pas évidentes de cette dernière obstruction.

Comme l'obstruction sur les corps de nombres n'utilise que le pi_1 et pi_2, il en resulte que pour une variété (géometriquement) simplement connexe, l'obstruction d'homotopie étale est équivalente à l'obstruction d'homologie étale, qui elle-même est équivalente à l'obstruction de Brauer-Manin. Mais sur un corps de dimension au moins 3, comme un corps de fonctions sur un corps local, il existe en principe une contribution du pi_3 étale à l'obstruction. En collaboration avec Carlson et Schlank, on démontre qu'il existe une variété simplement connexe sur un corps de fonctions p-adiques K où l'obstruction d'homotopie étale obstrue la non-existence de K-points, mais les obstructions d'homologie étale et de Brauer-Manin ne l'obstruent pas.