Nouvelles perspectives sur la méthode de fibration, un principe local-global en famille (Elyes Boughattas, Université de Rennes)

Un des points de départ de l'arithmétique est la résolution des équations diophantiennes sur le corps Q des nombres rationnels. Plus généralement, une variété algébrique étant donnée, peut-on décider si elle admet un point rationnel ? Divers principes locaux-globaux permettent d'attaquer cette question. Par exemple, l'existence d'un point rationnel est-elle impliquée par l'existence de points en tous les complétés de Q ? Les premières réponse négative à cette question ont été apportées dans les années 1960, puis Manin introduisit en 1970 une obstruction cohomologique, dite de « Brauer-Manin » dont on conjecture qu'elle permet d'expliquer l'absence de points rationnels pour les variétés rationnellement connexes.

Depuis une dizaine d'année, les travaux sur la méthode de fibration, qui étudie l'obstruction de Brauer-Manin en famille au-dessus de la droite projective, ont connu un nouvel élan. Au cours de cet exposé, nous présenterons un travail en cours de finalisation où nous démontrons une méthode de fibration sur les corps de fonctions de courbes sur un corps fini. Pour compléter le tableau, nous évoquerons également deux travaux parallèles en cours portant sur de nouveaux résultats quantitatifs et qualitatifs de la méthode de fibration sur le corps Q.