Nicolás Matte Bon (CNRS & Université Lyon 1) : Dimension conforme et propriété de Liouville pour les groupes de monodromie itérée

Une classe fondamentale de systèmes dynamiques topologiques est constituée par les revêtements (ramifiés) dilatants d'un espace compact sur lui-même ; par exemple, les fonctions rationnelles complexes (sub-)hyperboliques (en restriction à leur ensemble de Julia). Une théorie développée par V. Nekrashevych et d'autres permet d'encoder tout système dynamique de ce type par un groupe, appelé son groupe de monodromie itérée. Ce groupe agit naturellement sur un arbre enraciné et appartient à la classe des groupes dits auto-similaires contractants. Dans ce domaine, une question ouverte bien connue concerne la moyennabilité des groupes de monodromie itérée (ou de manière équivalente, des groupes auto-similaire contractant). Je vais présenter un travail en collaboration avec V. Nekrashevych et T. Zheng, dans lequel nous démontrons la moyennabilité du groupe de monodromie itérée de toute fonction rationnelle hyperbolique. Ce résultat découle d'un critère reliant la dimension conforme de l'espace du système dynamique sous-jacent à la propriété de Liouville (la trivialité du bord de Poisson) des marches aléatoires sur son groupe de monodromie itérée.