Mateo Crabit (Sorbonne Université) : Formes modulaires et j-invariant, une étonnante factorisation pour la norme d’une différence de singular moduli

Le j-invariant est une fonction holomorphe du demi-plan supérieur ayant de nombreuses propriétés arithmétiques. Il permet, entre autres, de classifier les courbes elliptiques sur les complexes. Lorsque z est un nombre complexe (non réel) solution d’une équation polynomiale de degré 2, on appelle j(z) un "singular moduli". Dans cet exposé, après quelques rappels de théorie algébrique des nombres et une rapide introduction aux formes modulaires, je présenterai certaines caractéristiques arithmétiques de ces singular moduli. En particulier, la factorisation de leur norme. Si le temps le permet, j’expliquerai les étapes de la fascinante preuve analytique de Gross-Zagier pour cette factorisation.