Opérades et espaces de lacets (Marvin Verstraete)

Résumé : Un problème important en topologie algébrique est l'étude des espaces de lacets associés à un espace topologique pointé. Cette étude est motivée par le calcul des groupes d'homotopies, qui définissent des invariants topologiques puissants pouvant mener à des théorèmes de classifications. En 1972, Jon Peter May étudie les espaces de lacets, et remarque que ceux-ci sont munis d'opérations qui peuvent être vues comme une généralisation du produit de concaténation. Il introduit alors la notion d'opérade afin d'encoder ces opérations particulières. Une opérade est une suite d'espaces vectoriels permettant d'encoder les opérations présentes sur différentes structures algébriques. Le but de cet exposé sera d'introduire à cette notion. Nous définirons, bien sûr, dans un premier temps, ce qu'est une opérade, en accordant une importance particulière à la représentation en arbres. Nous définirons ensuite la notion d'algèbre sur une opérade, qui peut être vue comme une généralisation de la plupart des structures algébriques que nous connaissons. Nous verrons enfin en quoi les opérades ont permis de mieux comprendre les espaces de lacets itérés, notamment à travers le théorème de reconnaissance de May.