Le problème du sous-espace invariant en théorie des opérateurs (Valentin Gillet, Univ. Lille)

Résumé :

Le but de cet exposé est de présenter l'un des problèmes les plus célèbres en théorie des opérateurs : le problème du sous-espace invariant. Ce problème peut s'énoncer de la façon suivante : étant donné un espace de Banach X complexe séparable de dimension infinie, est-ce que tout opérateur sur X admet un sous-espace invariant non trivial ? Nous verrons que la réponse à ce problème en toute généralité est négative, mais que le problème reste encore ouvert dans certains cas, notamment lorsque l'espace X est réflexif. Nous verrons aussi que pour certaines classes d'opérateurs, la réponse à ce problème est affirmative. Enfin, nous étudierons l'existence d'un sous-espace invariant non trivial pour les opérateurs positifs.