La théorie de Galois des revêtements (Marvin Verstraete, Univ. Lille)

Réumé : 

La théorie de Galois classique établit un pont entre l'étude des extensions de corps et la théorie des groupes. Plus explicitement, le théorème de correspondance de Galois établit une correspondance bijective entre les extensions de corps intermédiaires d'une extension de corps donnée, et les sous-groupes du groupe de Galois associé à cette extension. Ceci permet de transposer des problèmes issus de la théorie des extensions de corps, en général très difficiles, à la théorie des groupes, dans laquelle nous avons plus d'outils. Depuis la formalisation rigoureuse de la théorie de Galois, divers analogues et généralisations ont été développés, dans différentes branches des mathématiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons à l'un de ces analogues en topologie algébrique : la théorie de Galois des revêtements. Dans cette théorie, les extensions de corps sont remplacés par des espaces topologiques, les groupes de Galois par les groupes fondamentaux, et le théorème de correspondance de Galois devient un théorème de correspondance entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental. Après avoir fait des rappels de topologie élémentaires, nous introduirons la notion de revêtement, et énoncerons le théorème de correspondance des revêtements. En guise d'application, nous donnons une preuve particulièrement élégante d'un théorème issu de la théorie des groupes, le théorème de Nielsen-Schreier, qui affirme que tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.