Guillaume Delay (LJLL, Sorbonne Université): Analyse numérique d'un problème de continuation unique pour l'équation de la chaleur

     Nous nous intéressons à la résolution numérique d'un problème de
     continuation unique pour l'équation de la chaleur. Les conditions
     aux limites de ce problème, ainsi que sa donnée initiale ne sont pas 
     connues. Ces données sont remplacées par une mesure (bruitée) de
     la solution dans un sous-domaine. Le but est d'approcher la solution
     dans un domaine cible qui est une restriction du domaine de calcul complet.

     Au niveau continu, ce problème est mal posé. En particulier, on ne 
     dispose pas d'estimée de stabilité Lipschitz, mais plutôt d'une
     stabilité (conditionnelle) de type Hölder faisant intervenir la
     solution elle-même à la droite de l'inégalité.

     Au niveau discret, nous proposons une méthode de Galerkine discontinue
     hybridisée, c'est-à-dire disposant d'inconnues distinctes sur les éléments
     et les faces du maillage spatial. La discrétisation en temps s'appuie
     sur une méthode de Galerkine discontinue. L'ordre en espace et en temps
     peut être aussi élevé que l'on veut. La solution numérique correspond
     au point-selle d'un lagrangien. L'analyse numérique du problème permet 
     de choisir correctement des termes de stabilisation qui assurent l'existence
     et l'unicité de la solution, ainsi que (en absence de bruit) sa convergence 
     vers la solution exacte. Nous considérons, en particulier, une régularisation
     de Tikhonov.

     Nous prouvons la stabilité et la consistance (et ainsi la convergence)
     de la méthode à ordre optimal pour une norme faible faisant intervenir
     des résidus du problème. Nous utilisons la stabilité Hölder du problème 
     continu pour obtenir une borne a priori sur l'erreur de la méthode 
     en norme d'énergie. Le taux de convergence théorique est réduit à cause 
     du caractère mal posé du problème. Des simulations numériques testant 
     la convergence de la méthode viennent compléter cette étude.

     Il s'agit d'un travail en collaboration avec Erik Burman
     (University College London) et Alexandre Ern (Ecole des Ponts et
     Inria Paris).