Gary Martínez Núñez (Université de Lille) : Sur la combinatoire des T-variétés sur des corps non algébriquement clos

Pour une T-variété X, on définit la complexité comme la différence entre la dimension de X et celle du tore T. Les T-variétés de complexité nulle sont les variétés toriques, lesquelles peuvent être décrites à l’aide d’une donnée combinatoire appelée éventail, lorsque le tore T est déployé.

Entre 2006 et 2008, sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, Altmann, Hausen et Süß ont développé une théorie combinatoire décrivant les T-variétés de complexité supérieure, généralisant ainsi la description classique des variétés toriques. Les objets combinatoires correspondants sont appelés diviseurs polyédraux propres (pour les T-variétés affines) et éventails divisoriels (pour les variétés non affines).

Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation de cette théorie au cas des corps arbitraires. Nous verrons d’abord que la construction d’Altmann et Hausen s’applique telle quelle lorsque le tore agissant est déployé. Comme tout tore algébrique devient déployé après une extension galoisienne finie, on peut alors décrire, en toute généralité, les T-variétés sur un corps quelconque en ajoutant à la donnée combinatoire une structure de descente galoisienne appropriée.