Fonctions de matrices de Toeplitz symétriques - Joanna Bisch

Le calcul numérique de fonctions de matrices f(A) avec A matrice carrée de Toeplitz ou Toeplitz-like de
taille n × n trouve son intérêt dans divers domaines mathématiques, que ce soit pour la discrétisation d’une
équation integro-différentielle partielle ou la construction de systèmes de filtres. Or, les méthodes classiques
de calcul de fonctions de matrices n’utilisant aucune structure particulière de la matrice A, celles-ci sont alors de complexité O(n^3). Dans cette thèse nous cherchons à réduire cette complexité à O(n^2) voire O(n.log^2(n)) en exploitant la structure Toeplitz-like de A, notamment à l’aide de l’approximation rationnelle de notre fonction f. Après avoir donné quelques rappels concernant les fonctions de matrices et leur approximation, nous définissons une arithmétique sur les matrices Toeplitz-like, formant un sous-ensemble de matrices permettant des opérations rapides, comme l’addition, la multiplication ou l’inversion, réduisant le calcul d’une fonction rationnelle de matrice à une complexité O(n^2) voire O(n.log^2(n)). A l’aide de cette nouvelle arithmétique, nous nous attardons ensuite sur l’approximation des fonctions de matrice racine carrée et signe pour lesquelles nous reprenons et accélérons la méthode de Newton sous ses différentes formes. Enfin nous nous intéressons à l’approximation des fonctions de matrices f(A) par r(A) lorsque f est une fonction de Markov avec f : z → \int_α^β \frac{dµ(x)}{z−x} où µ est une mesure positive à support dans [α; β] et A une matrice de Toeplitz symétrique. Nous énonçons alors l’un de nos principaux résultats qui est une borne supérieure pour l’erreur relative d’interpolation rationnelle 1 − r/f sur l’intervalle spectral de A. Cette borne est ensuite optimisée par un choix particulier des points d’interpolation. Nous discutons alors de la précision de trois représentations différentes de nos interpolants rationnels et appuyons nos résultats d’applications numériques pour un argument scalaire. Un résultat sur la positivité des paramètres de la fraction continue de Thiele dans le cas de fonctions de Markov est également démontré. Ces résultats sont enfin appliqués au cas matriciel et nous proposons diverses reformulations a priori et a posteriori de notre borne sur 1 − r/f pour une fonction de Markov f et un argument matriciel. De nombreuses expériences numériques illustrent notre démarche.