Etude des singularités de la fonction valeur à canard de certaines équations différentielles (Philippe Pavis d'Escurac - Université de Haute-Alsace)

Les canards ont été découverts au début des années 1980 par É. Benoît, F.
et M. Diener et J.-L. Callot lors de l’étude de la fameuse équation de van der
Pol. Étant donnée une équation différentielle réelle singulièrement perturbée
par un petit paramètre ɛ, une solution canard – si elle existe – a la
particularité de longer partiellement ou en totalité la partie répulsive d’une
courbe lente pour une certaine valeur du paramètre de contrôle a, appelée
« valeur à canard ». Une généralisation aux EDO complexes a ensuite
donné lieu aux solutions surstables, bornées dans tout un voisinage d'un
point tournant où la courbe lente présente une inversion de stabilité. Il est
connu que dans le plan complexe [CRSS], les valeurs à canard admettent
un même développement asymptotique Gevrey d’ordre 1 noté â(ɛ), si bien
que la transformée de Borel A(t) de cette série â(ɛ) est analytique au
voisinage de l’origine.
Notre objectif est d’étudier les singularités complexes de A(t). En utilisant
comme outil, la récente théorie des développements asymptotiques
combinés [FS], nous avons montré que la première singularité est isolée
dans le cas particulier d’une équation de Riccati où la série â(ɛ) est Borel-
sommable dans toutes les directions du plan complexe excepté l’axe des
réels positifs qui constitue une ligne de Stokes. La méthode employée
consiste à évaluer les valeurs à canard de part et d’autre de cette ligne puis
de traduire la différence ainsi obtenue dans le plan de Borel. Références:
[CRSS] M. Canalis-Durand, J.-P. Ramis, R. Schäfke et Y. Sibuya, Gevrey
solutions of singularly perturbed differential equations, J. Reine Angew.
Math. 518, 95-129, 2000.
[FS] A. Fruchard et R. Schäfke, Composite asymptotic expansions, Lectures
Notes in Mathematics, Springer, Vol. 2066, 2013.