Estimation a posteriori pour la simulation des grandes échelles en mécanique des fluides incompressibles (Ghina Nassreddine, Univ. Paris-Saclay)
Séminaire « Analyse numérique et équations aux dérivées partielles »
Salle de réunion, bâtiment M2
La simulation numérique directe (DNS) à nombre de Reynolds élevé du comportement d'un fluide décrit par les equations de Navier-Stokes est particulièrement couteuse, voire impossible, puisque les tailles de maille et de pas de temps doivent être adaptées aux plus petites échelles des fluctuations des champs de vitesse et de pression ayant un impact sur la solution. Pour cette raison, on utilise des techniques comme la methode de simulation des grandes échelles (LES) ou l'on n'a pas besoin de résoudre l'integralité de toutes les échelles, mais où l'effet des plus petites échelles sur les échelles résolues sera modelisé. On s'intéresse au modèle de Smagorinksy, un des modèles les plus simples de LES et parmi les plus utilisés dans les codes de calcul. Il exprime l'effet des petites échelles par un terme de diffusion supplémentaire dont le coefficient de viscosité turbulente est une fonction des échelles résolues.Nous considérons ce modèle pour les équations stationnaires en dimensions deux et trois.
On analyse ce problème en introduisant les formulations variationnelles équivalentes. Ensuite on introduit le problème discret correspondant en se basant sur la méthode des éléments finis pour la discrétisation en espace . On établit une estimation d'erreur a posteriori entre la solution des équations de Navier-Stokes originelles et la solution discrète calculée. Cette estimation ne dépend que de la solution discrète calculée, de la géométrie du maillage et des données du problème; elle fait apparaître trois types d'indicateurs d'erreur: de discrétisation en espace, de filtrage dû à la méthode LES et de linéarisation. Enfin, on montre des résultats numériques de validation où l'ensemble est implémenteé à l'aide du logiciel FreeFem++.
Mots-clés: Navier-Stokes, Simulation des grandes échelles, méthode des éléments finis, Estimation d'erreur a posteriori.
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