Dounia Darkaoui (Université de Caen) : Espaces de Riemann-Roch : de la géométrie à l'arithmétique

Les espaces de Riemann-Roch sont des espaces de fonctions où les zéros sont imposés et les pôles autorisés. Calculer des bases de ces espaces a un intérêt en théorie des codes. En effet, les codes de Goppa les utilisent de manière à généraliser les codes Reed-Solomon. On peut aussi retrouver ces espaces dans des cryptosystèmes provenant d'une courbe, où un élément d'un espace de Riemann-Roch permet de calculer la somme de deux éléments de la jacobienne d'une courbe. Le calcul de ces bases est au premier abord un problème géométrique, mais peut se ramener à un problème arithmétique. Dans cet exposé, après avoir donné quelques définitions, j’expliquerai le lien entre valuations, factorisations polynomiales et idéaux d'un anneau de Dedekind. Je parlerai ensuite de l’utilisation de ce lien dans l'algorithme de calcul d'une base d'un espace de Riemann-Roch.