Densité locale motivique en géométrie non-archimédienne (Sidonie Ratajczak, Univ. Lille)

Résumé :

 On considère un corps K muni d'une mesure, la densité locale d'un ensemble X est définie comme une limite des volumes locaux normalisés. Intuitivement, la densité locale mesure la manière dont un ensemble emplit l’espace localement. Si X est une variété lisse réelle ou complexe, la densité locale existe et vaut 1 en tout point. Cette notion est intéressante en un point singulier, auquel elle attribue un invariant. Il a été montré par exemple que pour une variété analytique complexe, la densité locale est égale à la multiplicité de l'anneau local de X en ce point. Lorsque K=Q_p, on remplace la mesure de Lebesgue par la mesure de Haar. Contrairement aux cas réels et complexes, dans le cas p-adique, la suite des volumes locaux normalisés ne converge pas toujours, mais elle a une convergence cyclique. On peut généraliser cette notion dans des corps valués pour lesquels il n'existe pas de mesure classique en utilisant la théorie de l'intégration motivique. Le volume motivique n'est alors plus un nombre réel mais un élément du groupe de Grothendieck des variétés. Le but de cet exposé est d'introduire la notion de densité locale en un point singulier d'une variété algébrique définie sur le corps valué hensélien \C((t)).