Complexes de graphes et modèles de E_2-opérades de chaînes en caractéristique impaire (Benoit Fresse)

Orateur : Benoit Fresse

Lieu : salle des Séminaires M3

Résumé :

On a plusieurs modèles usuels de E_2-opérades dans la catégorie des espaces topologiques (les opérades de petits 2-cubes et de petits 2-disques, l'opérade de Fulton-MacPherson), dans la catégorie des catégories (les opérades de tresses colorées et parenthésées, l'opérade des catégories monoïdales 2-itérées), et dans la catégorie des complexes de chaînes (les modèles de Barratt-Eccles et de l'opérade des surjection des E_2-opérades). Dans le cadre de la théorie de l'homotopie réelle (et rationnelle), un modèle des E_2-opérades peut être défini en termes d'une coopérade de graphes, en utilisant une procédure de torsion qui modélise un processus d'intégration selon les fibres de formes différentielles semi-algébriques sur l'opérade de Fulton-MacPherson. Ce modèle est utilisé par Kontsevich pour prouver la formalité des E_2-opérades sur les réels.

Je donnerai un survol rapide de ces constructions dans la première partie de l'exposé. Ensuite, j'expliquerai la définition d'un analogue du modèle de la coopérade des graphes des E_2-opérades dans le contexte des opérades de chaînes à coefficients dans un corps de caractéristique impaire. La construction de cet analogue en caractéristique impaire de la coopérade des graphes fait intervenir des structures de E-infini algèbre gouvernées par l'opérade des surjections. La preuve de l'équivalence de l'opérade correspondant à cette coopérade de graphes avec une E_2-opérade passe par le modèle de Barratt-Eccles des E_2-opérades et la dualité de Koszul des E_2-opérades dans les complexes de chaînes.

En caractéristique nulle, le modèle de la coopérade de graphes des E_2-opérades vient muni d'une action d'une algèbre de Lie de graphes, laquelle peut être utilisée pour calculer l'homotopie de l'espace des automorphismes homotopiques du rationalisé des E_2-opérades, en relation avec le groupe de Grothendieck-Teichmüller qui représente le groupe des classes d'homotopies de ces automorphismes homotopiques. Pour conclure l'exposé, j'expliquerai aussi une généralisation de la définition de l'algèbre de Lie des graphes en caractéristique impaire et un calcul conjectural des automorphismes homotopiques des E_2-opérades de chaînes.