Leçon de Maths d'Arthur Renaudineau

Combien de cubiques nodales passent par 8 points du plan ?

Nous nous intéresserons au dénombrement de courbes algébriques passant par un certain nombre de points du plan, en généralisant le résultat élémentaire selon lequel deux points distincts déterminent une unique droite. Nous porterons une attention particulière aux cubiques nodales — des courbes d’équation polynomiale de degré 3 présentant un point double — et montrerons, à l’aide d’un joli calcul, que pour huit points fixés du plan, il existe exactement douze cubiques nodales passant par ces points (sur le corps des nombres complexes). Enfin, nous verrons que sur le corps des réels, un comptage approprié tenant compte d’un signe associé à chaque courbe conduit au nombre 8.