Paul-Emmanuel Timotei (Université de Lille) : L'approche des singularités des courbes algébriques planes par Max Noether et son rejet des développements de Puiseux
Séminaire « Doctorants et postdoctorants »Les travaux les plus connus de Max Noether (1844--1921) comprennent ceux qui concernent ce que l'on appelle aujourd'hui la "résolution des singularités". Il est considéré comme un pionnier dans ce domaine, en raison de deux publications datant respectivement de 1871 et 1875, et portant sur les théories des fonctions, des courbes planes et des surfaces algébriques. Dans le cas des courbes algébriques planes, aujourd'hui, la résolution des singularités consiste en la transformation birationnelle d'une courbe avec des singularités en une courbe lisse. Pour Noether, cette pratique renvoie à la réduction des singularités de la courbe via des transformations birationnelles jusqu'à obtenir une courbe lisse, excepté en un nombre fini de points multiples dits ordinaires.
L'objectif de Noether pour l'élaboration de sa méthode peut être une volonté d'étendre les résultats connus sur les courbes algébriques planes à singularités multiples ordinaires, aux courbes à singularités quelconques. Parmi ces résultats figurent la formule du genre d'une courbe algébrique, et les formules de Plücker. Or, dans ses deux articles, puis dans le rapport historique qu'il co-écrit avec Alexander Brill (publié en 1894), Noether précise le fait qu'il cherche à obtenir l'extension de ces formules en évitant l'utilisation d'un type de développement en séries : les développements de Puiseux ; ils sont utilisés par ses contemporains et issus d'une publication en 1850 de Victor Puiseux.
Par sa méthode de réduction des singularités, Noether affirme qu'il produit algébriquement une approche des singularités évitant les développements en séries, permettant de donner une définition des singularités et qui est interprétable géométriquement. Dans cette présentation, nous analysons les affirmations de Noether afin de saisir son rejet des travaux de Puiseux et sa volonté de produire une nouvelle approche des singularités.
