Module croisé d'algèbres de Lie et une application en homotopie rationnelle (Clovis Chabertier)

Orateur : Clovis Chabertier

Lieu : salle des Séminaires M3

Résumé :

Les modules croisés de groupes ont été introduit par Whitehead afin de comprendre les 2-types d'homotopie pointés. Plus tard, dans le but de comprendre les n-types pointés, Loday réinterprète les modules croisés comme des catégories internes aux groupes puis généralise cette idée en introduisant les n-Cat group, que l'on peut penser comme des n-fold catégories internes aux groupes. Ellis transpose ces notions aux cas de certains types d'algèbres, dont les algèbres de Lie, et définit des n-cubes croisés d'algèbres de Lie. Cependant, son approche n'est pas clairement liée à la théorie de l'homotopie des algèbres de Lie données par les algèbres de Lie différentielles graduées. Dans un travail en cours, on introduit une nouvelle notion de n-cube croisé d'algèbre sur un opérade, qui se lie naturellement aux algèbres différentielles graduées sur cette opérade. On applique ensuite cette construction aux cas des algèbres de Lie en construisant d'une part un carré croisé de groupes associé à un carré croisé d'algèbre de Lie complet, en intégrant termes à termes. D'autre part, on peut totaliser ce carré croisé d'algèbre de Lie et obtenir une algèbre de Lie différentielle graduée complète concentrée en degré 0,1 et 2. Enfin on présentera une stratégie pour démontrer que le classifiant de ce carré croisé de groupes  et que la réalisation géométrique (au sens de Buijs-Félix-Murillo-Tanré) sont homotopiquement équivalents. Ceci est une approche à une conjecture de Félix et Tanré dans "realization of Lie algebras and classifying spaces of crossed modules" qui conjecturent qu'à toute dg-algèbres de Lie complète, on peut associer un n-cat group dont le classifiant doit être isomorphe au classifiant de la dg-algèbre de Lie.