Emma Weschler (Université de Lille) : Les principes d’incertitudes forts sur les corps finis

En mécanique quantique, le principe d'incertitude d'Heisenberg stipule (grossièrement) qu'on ne peut connaître simultanément avec précision la position et la vitesse d'une particule. Cette célèbre inégalité relie en réalité une fonction définie et sa transformée de Fourier. En 1989, motivés par des applications en traitement du signal, Donoho et Stark donnent un nouveau principe d'incertitude, non plus pour des fonctions définies sur les réels mais sur un groupe abélien fini. Nous expliquerons dans cet exposé ce principe d'incertitude, et comment il a été amélioré par Tao en 2006 en un principe d'incertitude dit "fort" dans le cas où les fonctions sont définies sur Z/pZ où p est premier. Ensuite, nous verrons une généralisation récente de ce dernier proposée par Garcia, Karaali et Katz en 2021, pour des fonctions définies sur un corps fini et qui relèvent d'une certaine symétrie qu'on expliquera. Enfin, nous verrons en quoi les principes d'incertitudes forts servent à estimer la taille de la somme de deux sous-ensembles dans un corps fini.