Correspondance thêta en familles pour les paires duales de type II (Justin Trias, Imperial College London)

La correspondance thêta est un outil important en théorie des formes automorphes. Elle permet de construire des exemples intéressants de tels objets, à travers les fonctions thêta, et ses domaines d’application touchent aussi bien des aspects algébriques que plus analytiques de la théorie des nombres. Dans sa version locale, c’est-à-dire pour les corps p-adiques, elle fournit une bijection entre deux sous-ensembles de représentations irréductibles lisses à coefficients complexes de deux groupes (H,H’) qui forment une paire duale à l’intérieur d’un groupe symplectique. Si la paire (H,H’) est constituée de groupes linéaires, elle est dite de type II. Pour des corps de coefficients de caractéristique positive l, Mínguez a prouvé que cette bijection était encore valide pour les paires de type II à condition que l ne divise pas les pro-ordres de H et H'. Pour les anneaux de coefficients comme Z[1/p], j’expliquerai comment rendre ces constructions compatibles aux familles de représentations, avec au cœur de cette démarche la théorie du centre de Bernstein. Dans ce cadre, on obtient un morphisme entre les centres de Bernstein de H et H’ que l'on interprète par le biais de la représentation de Weil. En général, ce morphisme est fini et l'on s'attend même à ce qu'il soit surjectif. Ceci induirait alors une immersion fermée entre les schémas affines correspondants ainsi qu'une correspondance thêta intégrale en termes d'une bijection entre caractères de centre de Bernstein. Ce travail est en collaboration avec Gil Moss.