Répartition des courbes rationnelles sur les surfaces de Del Pezzo de degré cinq (Loïs Faisant, KU Leuven)

Ces trois dernières décennies, les anneaux de Cox des variétés algébriques ont trouvé de nombreuses applications en géométrie algébrique et en théorie des nombres. Ces objets fournissent une vaste généralisation des coordonnées homogènes d’un espace projectif : les points d’une variété torique ou de votre variété de Fano préférée sont donnés par leur coordonnées dans un espace principal homogène au-dessus de celle-ci. Cependant, dès que l’on sort du cadre torique, les-dites coordonnées doivent satisfaire des relations algébriques non-triviales provenant de l’anneau de Cox. Exemples : l’espace affine privé de l’origine au-dessus de l’espace projectif ; un ouvert (de nature combinatoire) d’un espace affine pour une variété torique ; le cône de la Grassmanienne Gr(2,5) pour une surface de Del Pezzo déployée de degré cinq (« DP5 »), les coordonnées associées devant dans ce cas satisfaire les relations dites de Plücker. Dans cet exposé, on expliquera comment ces notions peuvent être appliquées à l’étude de la distribution des courbes rationnelles sur les variétés toriques, puis sur la DP5, qui est la première surface de Del Pezzo non-torique que l’on obtient en éclatant successivement des points du plan projectif en position générale. L’approche adoptée ici est de nature motivique, ce qui permettra de traiter à la fois le cas des courbes complexes et des courbes sur un corps fini, et de démontrer une version de la conjecture de Manin-Peyre fonctionnelle pour les DP5. On entend par là la chose suivante : on estimera précisément la classe, dans un anneau de variétés, de l’espace de module des morphismes de degré d d’une courbe projective lisse vers une DP5, lorsque le degré (ie la hauteur du point rationnel correspondant) tend vers l’infini. Bien entendu, on rappellera les définitions des objets en jeu, notamment : l’anneau des variétés est l’anneau dont les générateurs sont les classes d’isomorphismes [ X ] de variétés algébriques et les relations sont dites « de découpages » : [ X ] = [ U ] + [ X - U ] pour tout ouvert U d’une variété X. Lorsque le corps de base k est fini, on dispose d’un morphisme de comptage qui envoie la classe d’une variété vers le nombre de ses points sur k. Cet exposé repose en partie sur une collaboration avec Christian Bernert (ISTA) et Jakob Glas (Leibniz Universität Hannover).