Une solution au problème de Davenport–Lewis–Schinzel (Angelot Behajaina, U Lille)

En 1961, Davenport, Lewis et Schinzel, en étudiant des équations du type f(x)=g(y), où f et g sont des polynômes à coefficients entiers, ont été amenés à poser le problème suivant : déterminer tous les polynômes complexes f,g tels que le polynôme bivarié f(X)−g(Y) soit réductible. Ce problème a donné lieu à de nombreux travaux sur plusieurs générations (Fried, Dèbes, Couveignes, Cassou-Noguès, Müller, etc.). Dans un travail en préparation avec Joachim König et Danny Neftin, nous apportons une solution complète à ce problème. Une application concerne le problème de Hilbert–Siegel qui, étant donné un polynôme f à coefficients rationnels, consiste à déterminer les entiers a tels que f(X)−a soit réductible. Notre méthode utilise une approche mêlant géométrie arithmétique et théorie des groupes finis. Je présenterai également quelques problèmes ouverts qui semblent accessibles par cette approche.