Conjecture de Gan-Gross-Prasad et norme sup pour les formes modulaires de Siegel — Félicien Comtat (Queen Mary University)

Les coefficients de Fourier dits « fondamentaux » des formes modulaires de Siegel de degré deux sont essentiellement indexés par les groupes de classes d’extensions quadratiques des rationnels correspondant aux discriminants fondamentaux négatifs.

Etant donnés une forme modulaire de Siegel F cuspidale qui est une forme propre des opérateurs de Hecke et qui n’est pas un relevé de Saito-Kurokawa, ainsi qu’un discriminant négatif d et un caractère Lambda du groupe de classes Cl(d) correspondant, la conjecture de Böcherer – qui est maintenant un théorème -- relie la somme pondérée par Lambda des coefficients de Fourier de F indexés par Cl(d) à des valeurs de fonction L. Sous l’hypothèse de Riemann généralisée, il est donc possible par inversion de Fourier discrète de borner les coefficients de Fourier fondamentaux de F.

Dans un projet en cours avec Abhishek Saha et Jolanta Marzec-Ballesteros, nous étendons ces résultats aux coefficients de Fourier non fondamentaux de F. En observant que la conjecture de Böcherer peut être vue comme un cas particulier de la conjecture de Gan-Gross-Prasad, cela se réduit à borner certaines intégrales locales.

La borne que nous obtenons pour les coefficients de Fourier permet alors de borner la norme sup  de F, en adaptant un résultat de comptage dû à Blomer, qui a traité le cas de relevés de Saito-Kurokawa. Dans cet exposé, je présenterai ces résultats et je donnerai un aperçu des méthodes si le temps le permet.