Colloquium d'Isabelle Gallagher : "Du microscopique au macroscopique, étude mathématique de la dynamique des gaz"

Nous accueillerons Isabelle Gallagher, professeur à l'Université Paris Cité et au DMA de l'ENS.

L'évolution d'un gaz peut être décrite par différents modèles en fonction de l'échelle d'observation (échelle microscopique ou macroscopique). Une question naturelle, soulevée par Hilbert dans son sixième problème, est de savoir si ces modèles fournissent des prédictions cohérentes. Dans le cas d'un gaz dilué dans lequel les particules obéissent aux lois de la mécanique classique de Newton, Lanford a montré en 1974 que l'équation de Boltzmann apparaît à une échelle intermédiaire, dite mésoscopique, et peut être vue comme une loi des grands nombres dans la limite où le nombre de particules dans le gaz tend vers l'infini, au moins pour des temps très courts. Des travaux plus récents à partir des années 1990-2000 établissent que les équations macroscopiques de type Navier-Stokes peuvent être vues comme limite de l'équation de Boltzmann quand le nombre de collisions par particule tend vers l'infini. Malheureusement dans cette limite le temps de validité du théorème de Lanford (qui permet de passer du microscopique au mésoscopique) tend vers zéro. Ainsi le programme de Hilbert consistant à passer du microscopique au macroscopique est encore complètement ouvert. Dans cet exposé, nous présenterons les différents modèles et leurs liens, ainsi que quelques avancées récentes dans ce programme.