Colloquium de Lucy Moser-Jauslin (Université Bourgogne Europe) : "Autour de deux problèmes en géométrie algébrique affine"

En géométrie algébrique, l’espace affine constitue l’un des objets fondamentaux d’étude. Pourtant, sa structure reste, à bien des égards, mal comprise. L’un des principaux obstacles à sa compréhension réside dans la complexité de son groupe d’automorphismes, qui a donné lieu, au cours des 35 dernières années, à de nombreux résultats aussi inattendus que profonds.

Dans cet exposé, je présenterai deux axes de recherche récents concernant l’espace affine complexe C^n. Le premier porte sur le problème de la linéarisation : toute action d’un groupe fini sur C^n est-elle linéarisable ? Il est désormais établi que la réponse est négative en général. En 1991, nous avons mis en évidence les premiers exemples d’actions non linéarisables de groupes diédraux sur l’espace affine de dimension 4. La question reste toutefois ouverte pour les groupes abéliens : existe-t-il des actions non linéarisables de groupes abéliens sur C^n ?

Cette problématique se relie à une autre question célèbre posée par Zariski : si une variété algébrique complexe X vérifie X × C ≅ C^{n+1}, peut-on en déduire que X ≅ C^n ? Malgré plus de cinquante ans de recherches, cette question demeure sans réponse. Néanmoins, en 1989, Danielewski a découvert un contre-exemple à une version généralisée de ce problème : il a construit deux surfaces affines S_1 et S_2 non isomorphes telles que S_1 × C ≅ S_2 × C. Cette découverte a donné naissance à une nouvelle branche de recherche sur les invariants des variétés affines.

Au cours de l’exposé, je mettrai en lumière les connexions entre ces deux questions, ainsi que les avancées récentes dans ce domaine.