Benoît Perthame (Sorbonne Université, CNRS, Université de Paris, Inria - Laboratoire Jacques-Louis Lions): EDP et la distance de Monge-Kantorovich

Le problème du transport optimal de Monge remonte à la fin du 18e siècle. Il consiste à minimiser le coût de transport d'un matériau d'une distribution de masse vers une autre. Monge n'a pas pu résoudre le problème et l'étape suivante a été franchie 150 ans plus tard par Kantorovich qui a introduit la distance de transport entre deux mesures de probabilité ainsi que le problème dual. Suite au ré-arrangement de champs de vecteurs par Brenier en 1987, le problème a été conclu par une série de papiers récents.
La distance de Monge-Kantorovich n'est pas facile à utiliser pour les équations différentielles aux partielles. Comment estimer la distance entre deux solutions?  La méthode du doublement global des variables est l'une d'entre elles. Elle est très intuitive en termes de processus stochastiques et nous fournit une méthode pour les EDP conservatives telles que certaines équations paraboliques (éventuellement fractionnaires), le scattering, l'équation de Boltzman homogène.
Les équations structurées, telles qu'elles apparaissent en biologie mathématique, constituent une large classe pour laquelle la méthode peut être utilisée.